Ред на Тейлър

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на

sin x

и развития по Тейлър от степен 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представямето и като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностие на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.

Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.$

(Тук f⁽n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)

Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите когато a = 0, редът също се нарича ред на Маклорен, по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).

Функции които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знае нейната стойност и стойностите на всичките и производни в дадена точка.

На графиката в дясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sinx. Жълтата крива е от седма степен и е графика на

$\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.$

Редът на Tейлър се използва широко в приложната математика и математическият анализ. Някои от употребите му са:

Директно получаване на приблизителна стойност на функция
Доказателство на теореми от математическия анализ

[редактиране] История

Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.

В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението

През 1715 Брук Тейлър, доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.

Специалният случай и неговото изследване прави Колин Маклорен във втората половина на XVII век.

[редактиране] Развитие на някои прости функции

Експоненциална функция и натурален логаритъм:

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad,\forall x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad, \left| x \right| < 1$

Геометрична прогресия:

$\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad, \left| x \right| < 1$

Нютонов бином:

$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infin} {\alpha \choose n} x^n\quad,\forall \left| x \right| < 1\quad,\forall \alpha\in C$

Тригонометрични функции:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad,\forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + .. ,\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

където B са числа на Бернули.

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad, \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

където E са числа на Ойлер

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| \leq 1$

Хиперболични функции:

$\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad,\forall x$

$\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x$

$\tanh\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \left|x\right| < \frac{\pi}{2}$

$\mathrm{arcsinh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1$

$\mathrm{arctanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1$

[редактиране] Изчисляване

Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.