Epicykloida

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Epicykloida je cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po vnější straně nehybné kružnici.

Epicykloida je speciálním případem epitrochoidy.

Znalost epicykloid využil Ptolemaios při popisu pohybu planet ve své soustavě, kdy pohybující se kružnice je označována jako epicyklus (epicykl) a pevná kružnice jako deferent.

Obsah

1 Prostá epicykloida
- 1.1 Vlastnosti
2 Zkrácená a prodloužená epicykloida
3 Speciální případy
- 3.1 Kardioida
- 3.2 Nefrioda
4 Podívejte se také na

[editovat] Prostá epicykloida

Prostá epicykloida.

Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po nehybné kružnici v její vnější oblasti, opisuje rovinnou křivku, která se nazývá prostá (obecná, obyčejná) epicykloida.

Použijeme-li jako parametr úhel odvalení $t$ , pak lze parametrické rovnice prosté epicykloidy zapsat ve tvaru

$x = (a+b)\cos{\left(\frac{b}{a}t\right)} - b\cos{\left(\frac{a+b}{a}t\right)}$

$y = (a+b)\sin{\left(\frac{b}{a}t\right)} - b\sin{\left(\frac{a+b}{a}t\right)}$

kde $a$ je poloměr nehybné kružnice a $b$ je poloměr kružnice hybné.

Je-li jako parametr použit úhel otočení $χ$ , pak dostaneme

$x = (a+b)\cos\chi - b\cos{\left(\frac{a+b}{b}\chi\right)}$

$y = (a+b)\sin\chi - b\sin{\left(\frac{a+b}{b}\chi\right)}$

kde $a$ je poloměr nehybné kružnice a $b$ je poloměr kružnice hybné.

[editovat] Vlastnosti

Důležitou charakteristikou prosté epicykloidy je poměr $\frac{a}{b}$ .

Je-li $\frac{a}{b}=m$ celé číslo, pak je prostá epicykloida uzavřená křivka s $m$ větvemi, které vzniknou při jednom oběhu hybné kružnice kolem nehybné kružnice.

Je-li $\frac{a}{b}$ racionální číslo $\frac{p}{q}$ , pak je prostá epicykloida uzavřená křivka s $p$ větvemi, které vzniknou při $q$ obězích hybné kružnice kolem nehybné kružnice.

Je-li $\frac{a}{b}$ iracionální číslo, pak prostá epicykloida není uzavřenou křivkou a má nekonečně mnoho větví.

Pro délku části oblouku jedné větve prosté epicykloidy platí vztah

$s = 8\frac{b}{a}(a+b)\sin^2\frac{a\chi}{4b}$

pro $\chi\in\left\langle 0,\frac{2b\pi}{a}\right\rangle$ . Pro délku jedné větve prosté epicykloidy pak dostaneme

$s = 8\frac{b}{a}(a+b)$

Pro poloměr křivosti v bodě (různém od hrotu) prosté epicykloidy platí vztah

$R = \left|\frac{4b(a+b)}{a+2b}\sin\frac{a\chi}{2b}\right|$

Ve vrcholu pak platí

$R = \left|\frac{4b(a+b)}{a+2b}\right|$

[editovat] Zkrácená a prodloužená epicykloida

Zkrácená a prodloužená epicykloida.

Jestliže tvořící bod epicykloidy neleží na hybné kružnici, ale ve vzdálenosti $d$ od středu této (hybné) kružnice, pak leží-li uvnitř hybné kružnice, tzn. $d < b$ , opisuje křivku označovanou jako zkrácená epicykloida (křivka $k 1$ na obrázku), leží-li vně hybné kružnice, tzn. $d > b$ , opisuje křivku označovanou jako prodloužená epicykloida (křivka $k 2$ na obrázku).

Zkrácenou a prodlouženou epicykloidu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi

$x = (a+b)\cos\left(\frac{b}{a}t\right) - d\cos\left(\frac{a+b}{a}t\right)$

$y = (a+b)\sin\left(\frac{b}{a}t\right) - d\sin\left(\frac{a+b}{a}t\right)$

kde $t$ je úhel odvalení, $a$ je poloměr nehybné kružnice a $b$ je poloměr hybné kružnice.

Použijeme-li jako parametr úhel otočení $χ$ , lze parametrické rovnice zapsat jako

$x = (a+b)\cos\chi - d\cos\left(\frac{a+b}{b}\chi\right)$

$y = (a+b)\sin\chi - d\sin\left(\frac{a+b}{b}\chi\right)$

[editovat] Speciální případy

[editovat] Kardioida

Kardioida.

Zvláštní případ prosté epicykloidy získáme pro $a = b$ , tzn. hybná kružnice má stejný poloměr jako nehybná kružnice. Tato epicykloida se nazývá kardioida (srdcovka).

Parametrické rovnice srdcovky jsou

$x = a\left[2\cos t - \cos\left(2t\right)\right]$