Náhodná veličina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Za náhodnou veličinu považujeme proměnnou, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Náhodná veličina je důležitým pojmem teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky.

Při opakování náhodného pokusu dochází v důsledku působení náhodných vlivů ke změnám náhodné veličiny. Hodnotu náhodné veličiny tedy není možné jednoznačně určit před provedením pokusu.

Náhodná veličina přiřazuje každému jevu jevového pole určité číslo a určitou pravděpodobnost. Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti.

Náhodné veličiny se obvykle značí velkými písmeny, např. $X, Y$ apod., zatímco jejich hodnoty se označují malými písmeny, např. $x, y$ apod.

Obsah

1 Definice
2 Spojité a diskrétní veličiny
- 2.1 Příklad
3 Náhodný vektor
4 Funkce náhodné veličiny
5 Podívejte se také na

[editovat] Definice

Náhodná veličina je libovolná reálná funkce $X$ definovaná na množině elementárních jevů $Ω$ pravděpodobnostního prostoru.

[editovat] Spojité a diskrétní veličiny

Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité (diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze spočetného počtu hodnot (konečného i nekonečného), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z nějakého intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech hodnot náhodné veličiny nazýváme definičním oborem.

[editovat] Příklad

Náhodný jev lze na náhodnou veličinu převést tak, že výskyt daného jevu označíme hodnotou 1 a pokud k výskytu daného jevu nedojde, tak náhodné veličině přiřadíme hodnotu 0. Jedná se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0 nebo 1.

[editovat] Náhodný vektor

V mnoha případech je k popisu výsledku náhodného pokusu nutné použít několik čísel. Pro takové případy zavádíme náhodný vektor, což je vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny.

[editovat] Funkce náhodné veličiny

V mnoha případech, kdy známe rozdělení náhodné veličiny $X$ , potřebujeme určit rozdělení náhodné veličiny $Y$ , která je funkcí $X$ , tzn. $Y = r (X)$ .

Je-li funkce $r (x)$ v oboru možných hodnot veličiny $X$ monotónní, pak existuje inverzní funkce $x = r - 1 (y) = s (y)$ , a jde o vzájemně jednoznačný vztah mezi $X$ a $Y$ . Je-li v takovém případě $r (x)$ rostoucí, pak pro všechna $x 2 > x 1$ je $y 2 > y 1$ , a distribuční funkci veličiny $Y$ lze psát jako

G (y) = P (Y < y) = P [X < s (y)] = F [s (y)]

Pro klesající funkci $r (x)$ , tzn. pro všechna $x 2 > x 1$ platí $y 1 > y 2$ , je distribuční funkce

G (y) = P (Y < y) = P [X > s (y)] = 1 - F [s (y)]

Je-li $X$ spojitá náhodná veličina s hustotou pravděpodobnosti $f (x)$ , přičemž $s (y)$ má pro všechna $y$ spojitou derivaci, pak pro rostoucí funkci $r (x)$ dostaneme hustotu pravděpodobnosti $g (y)$ veličiny $Y$ jako

$g(y) = \frac{\mathrm{d}G(y)}{\mathrm{d}y} = f[s(y)]s^\prime(y)$

Podobně pro klesající funkci $r (x)$ dostaneme

$g(y) = \frac{\mathrm{d}G(y)}{\mathrm{d}y} = -f[s(y)]s^\prime(y)$

Vzhledem k tomu, že v případě rostoucí funkce je $s^\prime(y)>0$ , zatímco v případě klesající funkce je $s^\prime(y)<0$ , lze oba předchozí vztahy spojit do jednoho

$g(y) = \frac{\mathrm{d}G(y)}{\mathrm{d}y} = f[s(y)] |s^\prime(y)|$

Funkce náhodné veličiny.

Není-li $r (x)$ monotónní funkcí, pak mezi $X$ a $Y$ neexistuje vzájemně jednoznačný vztah a tedy ani inverzní funkce k $r (x)$ . Distribuční funkce $G (y) = P (Y < y)$ je v takovém případě dána pravděpodobností, že náhodná veličina nabude hodnoty z kteréhokoliv intervalu, pro který $Y < y$ . Podle obrázku pak platí