Stavová rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

1 Stavová rovnice ideálního plynu
2 Odvození stavové rovnice ideálního plynu
3 Van der Waalsova rovnice
4 Podívejte se také na

[editovat] Stavová rovnice ideálního plynu

Stavová rovnice vyjadřuje vzájemnou závislost stavových veličin při termodynamických dějích v plynech.

Pro ideální plyn má stavová rovnice tvar: p . V = n . k . T , kde p je tlak plynu, V je objem plynu, n je látkové množství, k je Boltzmannova konstanta a T je termodynamická teplota.

[editovat] Odvození stavové rovnice ideálního plynu

[editovat] Tlak na stěny nádoby

V klasické mechanice se tlak [p] zavádí jako síla [F] na jednotku plochy [S].

$p=\frac{F}{S}$

Tlak p je tlak částic ideálního plynu na stěny nádoby, ve které jsou uzavřeny. Nádoba je uzavřená, to znamená že z ní neunikají ani do ní nevnikají částice. Každá částice se může pohybovat ve třech nezávislých směrech a teplota uvnitř nádoby je konstantní. Pro jednoduchost uvažujeme nádobu tvaru krychle s hranou velikosti a, rovnice ale platí obecně pro uzavřenou nádobu libovolného tvaru.

[editovat] Plocha stěn nádoby

Celková plocha S stěn naší nádoby (krychle) je 6a².

[editovat] Síla působící na stěny nádoby

Doplnit do vzorce pro tlak také sílu F vyžaduje trochu více úsilí.

Uvažujeme, že v nádobě je uzavřeno N částic. Tento počet lze vyjádřit také jako N=N_An, kde N_A je Avogadrova konstanta a n je látkové množství. Počet částic a látkové množství jsou tedy dvě různá vyjádření téhož. Vyjádření pomocí látkového množství ulehčuje práci fyzikům a chemikům, kteří mohou například namísto s 12044090000000000000000000 částicemi počítat s 20 moly látky.

Vypočítat sílu, na stěny nádoby v každém okamžiku pokud bychom pro každou naší částici znali její hmotnost, velikost a směr rychlosti na začátku času by byla pro náš soubor 12044090000000000000000000 částic opravdová dřina a tak při výpočtu síly by se mohl orosit i ten nejvýkonnější stroj:)

Aby byly výpočty vůbec realizovatelné, je třeba systém popsat pomocí relativně malého množství veličin. Bude to ale znamenat určitou ztrátu informace o systému. Veličiny, se kterými budeme počítat budou s dostatečnou přesností popisovat systém jako celek. Na druhou stranu ztratíme přehled o pohybu každé jednotlivé částice. Namísto tlaku v každém čase se tak budeme muset spokojit s jeho průměrnou hodnotou. Fluktulace tlaku ale nebude nijak velká a tak hodnota, kterou vypočteme pomocí statistiky bude dostatečně přesná. A tady přichází ke slovu statistická fyzika, která na začátku minulého století předznamenala nástup fyziky kvantové.

V klasické fyzice platí princip superpozice sil (a taktéž rychlostí a hybností), znamená to, že každou sílu nebo rychlost můžeme rozdělit na několik složek, které v součtu dají původní sílu nebo rychlost. Tento princip říká, že nepoznáme zda na bod tělesa působí jedna síla nebo sil víc, které mají stejnou výslednici. Je výhodné orientovat směry do kterých rozložíme síly a rychlosti rovnoběžně se stěnami nádoby (souřadnice x, y, z).

Pohyb jedné částice rozdělíme na tři nezávislé složky a to ve třech směrech kolmých na stěny nádoby. V každém směru (například ve směru x) se částice pohybuje rychlostí v_i^x dokud nenarazí na stěnu, kde se odrazí a letí v opačném směru rychlostí stejné velikosti -v_i^x dokud nenarazí na protější stěnu a tak pořád dokola.

Síla působí na nádobu pouze při nárazu částice na stěnu. Celkovou sílu získáme jako průměrný součet sil všech částic, které v daný průměrný okamžik právě narazily na nějakou ze stěn nádoby. Předpokládám, že všechny částice mají stejnou hmotnost m.

Síla je definována jako změna hybnosti za čas. Často mluvíme o síle jako o okamžité veličině vztažené k danému okamžiku. Pro nás bude výhodnější uvažovat průměrnou sílu, kterou částice působí na stěnu nádoby v průběhu delšího intervalu. Sílu budeme středovat přes čas. Ítá částice přispívá k celkové síle ve směru x silečkou úměrnou změně hybnosti v daném směru za čas. Hybnost se často značí p, protože ale tak již značíme tlak, budu hybnost značit p_hybnost abych naznačil, že jde o různé veličiny.

$f_i^x=\frac{\Delta p_{hybnost}}{\Delta t}=\frac{\Delta m v_i^x}{\Delta t}$

Hybnost se změní vždy po nárazu o stěnu, tedy po

$\Delta t=\frac{a}{v_i^x}$

a je délka hrany nádoby a v_i^x je rychlost ve směru rovnoběžném s danou hranou.

Protože se při nárazu o stěnu kolmou na směr x změnila rychlost z v_i^x na -v_i^x a hmotnost se nezměnila, je změna hybnosti

$\Delta p_{hybnost} = m v_i^x - m(-v_i^x)= 2mv_i^x$

Celková průměrná síla

$f_i^x=\frac{2mv_i^x}{\frac{a}{v_i^x}}= \frac{2mv_i^{x2}}{a}$

Zanedbali jsme srážky částic a dělali jakoby se každá částice beze srážek pohybovala ze strany na stranu. To je možné, protože srážky jsou dokonale pružné (zachovává se při nich hybnost). Celková změna hybnosti při srážkách je tedy nulová.

Teď si představíme opět celý soubor částic a sečteme všechny síly ode všech částic ve všech směrech do síly jediné, a tu pak dosadíme do vzorce ze začátku kapitoly.

$F=\sum_{i=1}^N f_i^x+f_i^y+f_i^z= \sum_{i=1}^N \frac{2mv_i^{x2}+2mv_i^{y2}+2mv_i^{z2}}{a}=\sum_{i=1}^N \frac{2mv_i^2}{a}$

v_i² je tu čtverec velikosti rychlosti.

Suma $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N v_i^2$ si vysloužila speciální pojmenování střední kvadratická rychlost částice, značí se < v² > a odpovídá průměrné druhé mocnině rychlosti částic v souboru.

Máme tedy

$S = 6 a 2$ a $F=\frac{2 N_A n m <v^2>}{a}$

Tady jsme použili N=N_A n a

$\sum_{i=1}^N \frac{2mv_i^2}{a}=\frac{2 m N <v^2>}{a}$

Celkový tlak tak je

$p=\frac{F}{S}=\frac{2 N_A n <v^2>}{6a^3}=\frac{N_A m n <v^2>}{3V}$

výraz a³ zřejmě odpovídá objemu nádoby.

Boltzmannova konstanta je definována jako

$k=\frac{m<v^2>}{3T}$ .

Výraz pro tlak lze tedy přepsat jako

$p=\frac{N_A n k T}{ V}$

a R=N_A k je molární plynová konstanta.

Při výpočtu jsme využili tří dimenzí prostoru a tedy tří nezávislých směrů, ve kterých se mohou částice pohybovat. Tlak by skutečně vyšel jinak kdyby se částice mohly pohybovat jen ve dvou směrech nebo kdyby byly například dvojice částic pevně spojeny do tvaru činky. Stále pak ale platí obecný tvar stavové rovnice ideálního plynu $\frac{p V}{T}=konst.$

V našem případě výraz $\frac{p V}{T}$ zůstává po celou dobu konstantní, protože Rnk je konstantní výraz pro daný plyn. Jistě tedy vyhovuje obecné formulaci stavové rovnice.

Boltzmann si připadal do konce života nepochopený a proto spáchal sebevraždu. Již několik let po jeho smrti byla teorie na které se podílel (statistická fyzika) obecně přijata a stala se nedílnou součástí fyziky.