Feldtheorie

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Dieser Artikel befasst sich mit der physikalischen Feldtheorie. Für die psychologische Feldtheorie siehe Feldtheorie (Psychologie)

Der Begriff Feldtheorie wird zusammenfassend für die Begriffe klassische Feldtheorie und Quantenfeldtheorie benutzt.

Feldtheorien sind ein mathematischer Unterbau zur Beschreibung all jener physikalischen Effekte, die durch Kräfte bzw. Wechselwirkungen hervorgerufen werden. Sie sind ein zentraler Bestandteil der theoretischen Physik. Man unterscheidet zwischen so genannten Skalarfeldern und Vektorfeldern: ein Skalarfeld ordnet jedem Raumpunkt eine Zahl zu; Beispiele sind die Temperatur und das elektrische Potential. Ein Feld, das jedem Raumpunkt einen Vektor zuordnet, bezeichnet man als Vektorfeld. Beispiele hierfür sind das elektrische Feld oder ein Geschwindigkeitsfeld einer Strömung.

[Bearbeiten] Klassische Feldtheorien

Klassische Feldtheorien vernachlässigen die Effekte der Quantenmechanik. Die bekannteste klassische Feldtheorie ist die Elektrodynamik. Auch die Gravitation im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine klassische Feldtheorie. Kräfte wirken hierbei kontinuierlich.

Historisch wurden zunächst zwei Hypothesen über Felder aufgestellt: die Nahwirkungshypothese und die Fernwirkungshypothese. In der Nahwirkungshypothese wird angenommen, dass sowohl die an der Wechselwirkung beteiligten Körper als auch das beteiligte Feld eine Energie besitzen, hingegen in der Fernwirkungstheorie nur die beteiligten Körper. Zudem würden sich gemäß der Fernwirkungshypothese Störungen instantan ausbreiten. Diese Diskussion ging von Isaac Newton, Pierre-Simon Laplace und Michael Faraday aus. Da im Fall statischer (d. h.: zeitlich gleich bleibender) Felder zwischen beiden Hypothesen nicht experimentell unterschieden werden kann, blieb die Frage bis zur Entdeckung elektromagnetischer Wellen durch Hertz unentschieden. Elektromagnetische Wellen können sich nämlich nur dann ausbreiten, wenn das Feld selbst über eine Energie verfügt.

Man unterscheidet zudem zwischen relativistischen und nichtrelativistischen Feldtheorien.

[Bearbeiten] Formalismus der Feldtheorien

Alle Feldtheorien können über den mathematischen Formalismus der Lagrangedichten beschrieben werden. Dieser ist eine Erweiterung des Lagrange-Formalismus der Mechanik. Ist für eine Feldtheorie eine Lagrange-Dichte $\mathcal L=\mathcal L(\phi_i,\partial\phi_i)$ bekannt, dann führt eine Variation der Wirkung

$S=\int \mathrm{d}^nx \mathcal L(\phi_i,\partial\phi_i)$

analog zum Vorgehen in der klassischen Mechanik (einschließlich partieller Integration) auf die Euler-Lagrange-Gleichung der Feldtheorie:

$\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - {\partial_\mu} \frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu \phi_i} = 0 \quad i= 0,1,...$

Diese Gleichungen bilden ein System von Differentialgleichungen, die das Verhalten der Felder eindeutig festlegen. Daher bezeichnet man sie auch als Bewegungsgleichungen einer Feldtheorie. Um ein bestimmtes physikalisches System zu beschreiben ist es notwendig, die Randbedingungen geeignet festzulegen. Viele physikalische Probleme sind jedoch derart komplex, dass eine allgemeine Lösung des Problems unmöglich oder nur über numerische Verfahren zugänglich ist. Dennoch ermöglichen die Lagrangedichten in der Feldtheorie eine systematische Untersuchung von Symmetrien und Erhaltungsgrößen.

[Bearbeiten] Die Bewegungsgleichung für Felder

So wie man die Lagrangegleichungen 2. Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrangegleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten.

Dazu variiert man das Feld

$\phi(x,t) \rightarrow \phi(x,t) + \delta \phi(x,t)$

womit auch die räumliche und zeitliche Ableitung variiert werden, zu

$\frac{\partial \phi}{\partial x} \rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial x} + \delta \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} \delta \phi$

$\frac{\partial \phi}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial t} \delta \phi$

Wie bei der Herleitung der Lagrangegleichungen 2. Art schreibt man das Integral in erster Ordnung mit

$\delta \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \, \mathcal{L}$

$=\int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \left[\mathcal{L}\left(\phi + \delta \phi , \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial t} \delta\phi , \frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} \delta \phi, t \right) - \mathcal{L}\left(\phi , \frac{\partial \phi}{\partial t} , \frac{\partial \phi}{\partial x} , t \right) \right]$

$=\int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}} \frac{\partial}{\partial t} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial x}}\frac{\partial}{\partial x}\delta \phi \right]$

Nun führt man in den räumlichen und zeitlichen Integralen eine partielle Integration aus, so dass die Ableitungen von den Variationstermen abgewälzt werden. Für die zeitliche Integration gilt demnach

$\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}}\frac{\partial}{\partial t} \delta \phi = \left[\int \mathrm{d}x \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}} \delta \phi \right]_{t_1}^{t_2} - \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}} \delta \phi$

Hierbei wird benutzt, dass

δφ(x, t 1) = δφ(x, t 2) = 0

ist, da Anfangs- und Endpunkt festgehalten werden. Daher gilt für die Randterme

$\left[\int \mathrm{d}x \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}} \delta \phi \right]_{t_1}^{t_2} = 0$

Mit der räumlichen Ableitung verfährt man analog, wobei die Randterme verschwinden, weil die Felder in großer Entfernung gegen Null gehen (z. B. wenn die Lagrange-Dichte ein Teilchen beschreibt) oder sie im Falle einer schwingenden Saite an den Enden fest sind; d. h. dass in diesen Punkten die Auslenkung, welche durch $φ(x, t)$ beschrieben wird, verschwindet.

Damit resultiert schließlich

$\delta \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \, \mathcal{L} = \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x}}\right] \delta \phi$

Da nun $δφ$ als Faktor des gesamten Integrals auftritt und beliebig ist, kann das Integral nur dann nach dem Variationsprinzip verschwinden, wenn der Integrand selbst verschwindet. Es gilt also

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x}} = 0$

Im dreidimensionalen Fall kommen einfach die Terme für y und z hinzu. Die vollständige Bewegungsgleichung lautet demnach

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} - \sum_{i=1}^3 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x_i}} = 0$