Normalisator
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Der Normalisator ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie.
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[Bearbeiten] Definition
Es seien G eine Gruppe und U Untergruppe von G. Der Normalisator von U in G (geschrieben: NG(U)) ist die Menge aller 
, für die
gilt. Dabei ist 
.
Eine äquivalente Forderung ist die, dass sogar gUg − 1 = U gilt. Mit anderen Worten: Der Normalisator besteht aus denjenigen , für die gilt, dass U unter Konjugation mit g invariant ist.
Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass U als ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente 
und 
durchaus 
; es gilt aber stets 
.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Der Normalisator ist eine Untergruppe von G.
- Eine Untergruppe U ist stets Normalteiler in ihrem Normalisator NG(U). Genauer: NG(U) ist die größte Untergruppe von G, in der U Normalteiler ist
- Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in G, wenn ihr Normalisator ganz G ist.
[Bearbeiten] Beispiel
Es sei G die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl n. Weiter sei U die Untergruppe der Diagonalmatrizen. Dann ist der Normalisator von U in G die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der Quotient NG(U) / U ist isomorph zur symmetrischen Gruppe Sn.
[Bearbeiten] Verwandte Begriffe
Fordert man, dass U elementweise invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des Zentralisators ZG(U). Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.
