Ordnung eines Gruppenelementes
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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes g oder Elementordnung die kleinste natürliche Zahl n, für die gn = e gilt, wobei e das neutrale Element der Gruppe G ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, g habe unendliche Ordnung. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit 
oder o(g) bezeichnet.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung eines Elementes einer endlichen Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung, d.h. der Anzahl der Elemente der Gruppe.
- Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Gruppenordnung der von diesem Element erzeugten Untergruppe.
- In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes gh ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von g und h. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element
der Gruppe SL2(Z) unendliche Ordnung, es ist aber gleich dem Produkt der Elemente 
und 
mit den jeweiligen Ordnungen 2 bzw. 3.
