Spektrale Leistungsdichte

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[Bearbeiten] Erklärung

Die spektrale Leistungsdichte (auch Power-Spektrum) gibt die Leistung eines Signals in einem infinitesimal kleinen Frequenzband an. Über die Frequenz angetragen spricht man vom Leistungsdichtespektrum. Das Integral über alle Frequenzanteile ergibt die komplette Leistung des Signals.

Der Begriff Spektrum ist nur sinnvoll, wenn das betrachtete Signal (meist handelt es sich um elektrische Signale oder elektromagnetische Strahlung) verschiedene Frequenzen enthält, also nicht monochromatisch beziehungsweise monofrequent ist.

Mit Signal ist hierbei sowohl das Nutzsignal als auch der Rauschanteil des Signals gemeint.

Die Kenntnis und Analyse der spektralen Leistungsdichte von Nutzsignal und Rauschen ist wesentlich zur Bestimmung des Signal-Rausch-Verhältnisses und zur Optimierung entsprechender Filter zur Rauschunterdrückung, zum Beispiel im Bildrauschen.

[Bearbeiten] Definition

Mathematisch gesehen ist die spektrale Leistungsdichte $S X X (ω)$ die Fouriertransformation der zeitlichen Autokorrelationsfunktion.

$R_{xx}(\tau) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x(t) \cdot x(t + \tau) dt$

$S_{XX}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} R_{xx}(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau$

wobei $x (t)$ das zeitliche Signal ist. In der Praxis werden kaum unendlich lange Zeitreihen vorliegen, deshalb schränkt man das Integrationsintervall ein. Nur für eine stationäre Verteilung ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Zeit $t$ abhängig.

[Bearbeiten] Beispiele

Wenn die Korrelationsfunktion eine Delta-Distribution ist, spricht man von weißem Rauschen, in diesem Fall ist $S X X (ω)$ konstant.
Im allgemeinen erhält man allerdings für das Leistungsdichtespektrum eine abfallende Funktion. Man unterscheidet verschiedene Arten des Rauschens (z.B. 1/f-Rauschen), je nachdem, wie schnell sie abfällt.
Beim Durchgang durch ein System mit der Übertragungsfunktion $H (ω)$ verhält es sich mit dem Leistungsdichtespektrum entsprechend der Systemtheorie. Da es sich um eine Leistungsgröße handelt, geht die Übertragungsfunktion quadratisch in die Formel ein.