Spezielle lineare Gruppe
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Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien.
[Bearbeiten] Definition
Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper F (oder allgemeiner einem unitären Ring), SL(n,F), ist die Gruppe aller n×n Matrizen mit Koeffizienten aus F, deren Determinante 1 beträgt. Gruppenverknüpfung ist die Matrizenmultiplikation.
Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge R der reellen oder C der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch SL(n).
[Bearbeiten] Eigenschaften
Die spezielle lineare Gruppe SL(n,F) ist eine normale Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,F).
Die Faktorgruppe GL(n,F)/SL(n,F) ist isomorph zu F×, der multiplikativen Gruppe von F (für einen Körper F ist F× gleich F ohne die 0).
Wichtige Untergruppen der SL(n,F) sind die spezielle orthogonale Gruppe SO(n,F) und die spezielle unitäre Gruppe SU(n,F).
Die spezielle lineare Gruppe SL(n) über dem Körper R oder C ist eine Lie-Gruppe über F der Dimension n2-1.
Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.
