Vikipedio:Projekto matematiko/Etendita reela nombra linio
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Etendita reela nombra linio (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En matematiko, la etendita reela nombra linio estas ricevita de la reela nombra linio R per adicianta du eroj: +∞ kaj −∞. Ĉi tiuj novaj eroj estas ne reelaj nombroj ((tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas ne juĝo pri ilia "realo" aŭ manko de ĝi; iom, "reela nombro" havas teknika signifo (tiu, ke, kiu) ∞ kaj −∞ ne kontentigi). Ĝi estas utila en priskribanta diversaj (limigante, limiganta) (kondutoj, kondutas) en kalkulo kaj analitiko, aparte en la teorio de mezuri kaj integralado. La etendita reela nombra linio estas signifita R aŭ [−∞, +∞].
Kiam la signifo estas klara de ĉirkaŭteksto, la simbolo +∞ estas ofte skribita simple kiel ∞.
Enhavo |
[redaktu] Motivado
[redaktu] Limigoj
Ni ofte deziri al priskribi la konduto de funkcio f(x), kiel ĉu la argumento x aŭ la funkcia valoro f(x) preni "tre granda" iusence. Ekzemple, konsideri la funkcio
La (grafikaĵo, grafeo) de ĉi tiu funkcio havas horizontala asimptoto de y = 0. Geometrie, kiel ni movi pli malproksima kaj pli malproksima dekstren suben la x-akso, la valoro de 1 / x2 prenas pli proksima kaj pli proksima al 0. Ĉi tiu (limigante, limiganta) konduto estas simila al la limigo de funkcio je reela nombro, escepti (tiu, ke, kiu) estas ne "nombro" al kiu x estas (aliranta, manieranta, proksimiĝanta).
Per aliganta la ero +∞ al R, ni permesi nin mem al formuli difino de tia "limigo je malfinio" kiu estas topologie identa al la kutima difino je reela nombro.
[redaktu] Mezuri kaj integralado
En mezura teorio, ĝi estas ofte utila al permesi aroj kiu havi "malfinio mezuri" kaj integraloj kies valoro (majo, povas) esti "malfinio".
Tia (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj) ekesti (naive, krude, nature) el kalkulo. Ekzemple, se ni estas al asigni mezuri al R (tiu, ke, kiu) (kongruas, konsentas) kun la kutima longo de (intervaloj, intervalas), ĉi tiu mezuri devas esti pli granda ol (ĉiu, iu) finia reela nombro. Ankaŭ, kiam konsiderantaj malfiniaj integraloj, kiel
la valoro "malfinio" ekestas. Fine, ni ofte deziri al konsideri la limigo de vico de funkcioj, kiel
Sen permesantaj funkcioj al alpreni "malfinio (valoroj, valoras)", tiaj esencaj rezultoj kiel la monotona konverĝa teoremo kaj la dominita konverĝa teoremo devus ne fari (senso, senco).
[redaktu] (Mendi, Ordo) kaj topologiaj propraĵoj
La etendita reela nombra linio (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) enen tutece orda aro per difinanta −∞ ≤ a ≤ +∞ por ĉiuj a. Ĉi tiu (mendi, ordo) havas la nica propraĵo (tiu, ke, kiu) ĉiu subaro havas preciza supra rando kaj (preciza malsupra rando, preciza suba rando): ĝi estas plena krado. La tuteca ordo konkludas topologio sur R. En ĉi tiu topologio, aro U estas najbaraĵo de +∞ se kaj nur se ĝi enhavas aro {x : x > a} por iu reela nombro a, kaj analoge por la najbaraĵoj de −∞. R estas kompakta Hausdorff-a spaco homeomorfia al la unuobla intervalo [0, 1].
[redaktu] Aritmetikaj operacioj
La aritmetikaj operacioj de R povas esti parte etendita al R kiel sekvas:
- a + ∞ = +∞ + a = +∞ se a ≠ −∞
- a − ∞ = −∞ + a = −∞ se a ≠ +∞
- a × ±∞ = ±∞ × a = ±∞ se a > 0
- a × +∞ = +∞ × a = −∞ se a < 0
- a × −∞ = −∞ × a = −∞ se a > 0
- a × −∞ = −∞ × a = +∞ se a < 0
- a / ±∞ = 0 se −∞ < a < +∞
- ±∞ / a = ±∞ se 0 < a < +∞
- +∞ / a = −∞ se −∞ < a < 0
- −∞ / a = −∞ se 0 < a < +∞
- −∞ / a = +∞ se −∞ < a < 0
Ĉi tie, "a + ∞" (meznombroj, meznombras, signifas) "a + (+∞)" kaj "a − ∞" (meznombroj, meznombras, signifas) ambaŭ "a − (+∞)" kaj ankaŭ "a + (−∞)".
La esprimoj ∞ − ∞, 0 × ±∞ kaj ±∞ / ±∞ estas kutime (maldekstre, restis) (senvalora, nedefinita). Ĉi tiuj reguloj estas modelita sur la leĝoj por malfiniaj limigoj. Tamen, en la ĉirkaŭteksto de probablo aŭ mezura teorio, 0 × ±∞ estas kutime difinita kiel 0.
(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) 1 / 0 estas ne difinita kiel ĉu +∞ aŭ −∞, ĉar kvankam ĝi estas vera (tiu, ke, kiu) ĉiam f(x) → 0 por kontinua funkcio f(x), ni devas havi (tiu, ke, kiu) 1/f(x) estas eble en ĉiu najbaraĵo de la aro {−∞, +∞}, ĝi estas ne vera (tiu, ke, kiu) 1/f(x) devas konverĝi al unu de ĉi tiuj punktoj. Ekzemplo estas f(x) = 1/((peko, peki)(1/x)).
[redaktu] Algebraj propraĵoj
(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) kun ĉi tiuj (difinoj, difinas), R estas ne kampo kaj ne (eĉ, ebena, para) ringo. Tamen, ĝi ankoraŭ havas kelkaj oportunaj propraĵoj:
- a + (b + c) kaj (a + b) + c estas ĉu egala aŭ ambaŭ (senvalora, nedefinita).
- a + b kaj b + a estas ĉu egala aŭ ambaŭ (senvalora, nedefinita).
- a × (b × c) kaj (a × b) × c estas ĉu egala aŭ ambaŭ (senvalora, nedefinita).
- a × b kaj b × a estas ĉu egala aŭ ambaŭ (senvalora, nedefinita)
- a × (b + c) kaj (a × b) + (a × c) estas egala se ambaŭ estas difinita.
- se a ≤ b kaj se ambaŭ a + c kaj b + c estas difinita, tiam a + c ≤ b + c.
- se a ≤ b kaj c > 0 kaj ambaŭ a × c kaj b × c estas difinita, tiam a × c ≤ b × c.
En ĝenerala, ĉiuj leĝoj de aritmetiko estas valida en R kiel longa kiel ĉiuj okazantaj esprimoj estas difinita.
[redaktu] _Miscellaneous_
Kelkaj funkcioj povas esti kontinue etendita al R per prenante limigoj. Ekzemple, unu difinas (eksp, exp)(−∞) = 0, (eksp, exp)(+∞) = +∞, _ln_(0) = −∞, _ln_(+∞) = +∞ kaj tiel plu
Kompari la reala projekcia linio, kiu ne (distingi, diferencigi) inter +∞ kaj −∞.
