Números amigos

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Sistema numérico en matemática.

Conjuntos de Números

Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales Complejos

Números destacables

π (Pi) (3,1415926535...) e (2,7182818284...) Φ (1,6180339887...) i (0;1)

Números Especiales

Nominales Ordinales {1o, 2o, ...} (de orden) Cardinales {} Números infinitos Números transfinitos

Números con propiedades especiales

Primos , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

Dos números amigos son dos enteros positivos tales que la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:

• los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284
• los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220

Para los pitagóricos los números amigos tenían muchas propiedades místicas.

Alrededor del año 850, Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: si

p = 3 × 2^n-1 - 1,

q = 3 × 2ⁿ - 1,

r = 9 × 2^2n-1 - 1,

donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces

2ⁿpq y 2ⁿr son un par de números amigos.

Esta fórmula genera los pares (220, 284), (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056). El par (6232, 6368) también es de números amigos, pero no se puede hallar por la fórmula anterior.

Los números amigos han sido estudiados por Al Madshritti (muerto en 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), René Descartes (1596-1650), a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler.

Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.