Punto límite
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En matemáticas, informalmente hablando un punto límite (o punto de contacto o punto de acumulación) de un conjunto S en un espacio topológico X es un punto x en X que puede ser "aproximado" por puntos de S distintos a x tanto como queramos. Este concepto generaliza la nocíón de límite y puede ser base de conceptos como conjunto cerrado y cerradura topológica. Ciertamente, un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite, y la operación topológica de cerradura puede ser pensada como la acción de agregar a un conjunto sus puntos de acumulación.
[editar] Definición
Sea S un subconjunto de un espacio topológico X. Decimos que un punto x en X es un punto límite de S si todo conjunto abierto que contenga a x también contiene otro punto de S distinto de x. Esto es equivalente a pedir que toda vecindad de x contiene un punto de S distinto a x.
[editar] Algunas propiedades
- Tenemos las siguientes caracterizaciones de los puntos límite: x es un punto límite de S si y sólo sí está en la cerradura de S \ {x}.
- Demostración: Partamos del hecho de que un punto está en la cerradura de un conjunto si y sólo si toda vecindad del punto tiene intersección no vacía con el conjunto. Ahora, x es un punto límite de S ssi toda vecindad de x contiene un punto de S distinto a x ssi toda vecindad de x contiene un punto de S \ {x} ssi x está en la cerradura de S \ {x}.
- Si usamos L(S) para denotar el conjunto de puntos límite de S, entonces tenemos la siguiente caracterización de la cerradura de S: La cerradura de S es igual a la unión de S y L(S).
- Demostración: Supongamos que x está en la cerradura de S. Si x está en S, está demostrado. Si x no está en S, entonces toda vecindad de x contiene un punto de S, y este punto no puede ser s. En otras palabras, x es un punto límite de S y x está en L(S).
Conversamente, si x está en S, entonces toda vecindad de x claramente tiene intersección no vacía con S, así que x está en la cerradura de S. Si x está en L(S), entonces toda vecindad de x contiene un punto de S (distinto de x), así que x está en la cerradura de S. Esto completa la prueba.
- Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrado: un conjunto S es cerrado si y sólo si este contiene a todos sus puntos límite.
- Ningún punto aislado es el punto de límite de un conjunto que no lo contenga.
- Un espacio X es discreto si y sólo si ningún subconjunto de X tiene puntos límites.
- Si un espacio X tiene la topología trivial y S es un subconjunto de X con más de un elemento, entonces todos los elementos de X son puntos límites de S.
