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Dynamique des populations : Systèmes Proie-prédateur - Introduction

Sommaire

1 Modélisation de la coexistence de deux espèces dont l'une dévore l'autre
- 1.1 Équation de Lotka-Volterra
- 1.2 Équation Malthusienne ((?))

[modifier] Modélisation de la coexistence de deux espèces dont l'une dévore l'autre

Le but de cette étude va être de comprendre, d'étudier et d'expliquer (mathématiquement et physiquement) le comportement d'un système constitué de deux espèces en vase clos dont l'une dévore l'autre. Dans ce but, nous allons re-construire l'équation standard de Lotka-Volterra et l'étudier en détail avant de la compliquer en y rajoutant des termes supplémentaires.

[modifier] Équation de Lotka-Volterra

Dans un biotope fermé, on considère uniquement la présence de deux espèces x et y. Les individus de l'espèce y , les prédateurs, se nourrissent exclusivement d'individus de l'espèce x qui sont les proies.

Si l'espèce x était seule dans ce milieu, elle se reproduirait naturellement avec un taux d'accroissement supposé constant et positif noté a. L'espèce y, en revanche, si elle était seule, s'éteindrait progressivement avec un coefficient c (supposé constant et positif) en raison du manque de proies. On a donc un accroissement de +ax pour l'espèce x et un accroissement de -cy pour l'espèce y.

Revenons maintenant au cas où les deux espèces coexistent : pour exprimer les variations de la population au sein de chaque espèce, on doit tenir compte des rencontres entre deux membres d'une espèce différente. En effet on va définir un coefficient constant supplémentaire pour chaque espèce qui exprimera un accroissement de la population de l'espèce en question proportionnellement au nombre de rencontres. On note ce coefficient b pour l'espèce x et d pour l'espèce y.

L'utilisation de ces coefficients et les signes devant ceux-ci s'expliquent par le fait que la population de proies se développera d'autant moins vite qu'il y aura de prédateurs, et les prédateurs d'autant plus vite qu'il y aura de proies. On aboutit donc au système d'équations différentielles suivant (dites équations de Lotka-Volterra) :

$(S)=\left\{\begin{matrix} x'(t)=ax(t)-bx(t)y(t) \\ y'(t)=-cy(t)+dx(t)y(t) \end{matrix}\right.$

[modifier] Équilibre, stabilité

Nous allons maintenant nous intéresser aux équilibres possibles d'un tel système. Ces équilibres sont au nombre de deux. Intuitivement, le système est en équilibre quand aucune des deux epèces n'est présente dans le milieu... On n'a ainsi aucune apparition d'un membre de l'une ou l'autre des deux espèces. Le système est aussi en équilibre quand les apparitions et disparitions des individus de chaque espèce se compensent exactement.

Mathématiquement, ces positions d'équilibre correspondent à des solutions constantes du système différentiel établi précédemment. Dans la recherche de ces positions, le système devient alors :

$\left\{\begin{matrix} ax(t)-bx(t)y(t)=0 \\ -cy(t)+dx(t)y(t)=0 \end{matrix}\right.$

soit : $\left\{\begin{matrix} x(t)(a-by(t))=0 \\ y(t)(dx(t)-c)=0 \end{matrix}\right.$

Une première solution de la première équation est x(t)=0, ainsi on a nécessairement y(t)=0 et on retrouve la première position d'équilibre sans proie ni prédateur.

On se propose d'étudier la stabilité de cette solution : on écarte le système de sa position d'équilibre. Par exemple prenons les conditions initiales suivantes : $(x(0)=\epsilon >0\ ,\ y(0)=0)$ . La solution du système sera : $(\epsilon e^{(at)}\ ,\ 0)$ . On n'a donc pas de stabilité car alors x(t) tend vers l'infini dès qu'on a écarté le système de sa position d'équilibre.

$\Rightarrow$ linéarisation du système, valeurs propres, etc...à compléter ! > Mais le système est déjà linéaire, non? le système est "couplé" en fait

La deuxième solution de la première équation est y(t)=a/b et ainsi on obtient, en reportant dans la deuxième équation : x(t)=c/d ce que nous avons déjà interprété.

$\Rightarrow$ linéarisation du système, valeurs propres, etc...à compléter !

[modifier] Forme générale des solutions / un résultat utile

Nous allons maintenant mettre en évidence le caractère périodique des solutions, phénomène intéressant dans le cadre de l'étude des systèmes proie-prédateur car on prouve de la sorte que le système ne dégénère pas, qu'une cohésion peut être assurée et que donc les espèces peuvent effectivement coexister sans la présence d'un quelconque élément perturbateur.

L'idée est de montrer que la fonction H(x,y) = by + dx - aln y - cln x est une constante du mouvement. On ne cherchera pas ici à établir cette relation mais seulement à la vérifier. Il suffit pour cela de montrer que la fonction considérée est définie pour tout t de l'intervalle de définition de la solution (x,y) de (S), puis de la dériver.

Si x(t₀) > 0 et y(t₀) > 0, montrons que pour tout t, x(t) > 0 et y(t) > 0. Il existerait sinon s tel que x(s) = 0 (par exemple), et le théorème de Cauchy-Lipschitz entraînerait que x(t) = 0 et y(t) = y(s)e^{-c(t - s)} pour tout t, contrairement au fait que x(t₀) > 0. De même, si y(s) = 0, on aurait y(t) = 0 et x(t) = x(s)e^{a(t - s)} pour tout t, contrairement au fait que y(t₀) > 0. Comme x(t₀) > 0 et y(t₀) > 0, H est bien définie pour tout t de l'intervalle de définition de la solution (x,y) du système (S).

Dérivons alors H par rapport à t. On a ainsi :

$\begin{matrix}H'(t)&=& by'+dx' - a\frac{y'}{y} - c\frac{x'}{x} \\ \ & =& b(-cy+dxy)+d(ax-bxy)-a(-c+dx)-c(a-by) \\ \ & =& 0\end{matrix}$

si bien que H est constante.

On aura en fait utilisé la forme générale des solutions de (S) pour aboutir à la fonction H, d'où le titre de la partie.

[modifier] Périodicité des solutions

Intéressons nous maintenant à l'étude de la périodicité des solutions. ad lib.....(^-^) > Bah, au pire on met seulement les dessins... ...au pire ;o)...

[modifier] Valeur moyenne de x(t) et y(t)

[modifier] Représentations des solutions

[modifier] Influence de la chasse

[modifier] Équation Malthusienne ((?))

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