Moment quadratique

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Un moment quadratique est une grandeur qui caractérise une section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans le système international en $m 4,$ (mètre à la puissance 4). Le moment quadratique est utilisé en résistance des matériaux, il est indispensable pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion et en flexion.

Sommaire

1 Définition générale
- 1.1 Application de la définition
2 Formules pour les sections usuelles
3 Formule de changement d'axe
4 Exemple pour une section complexe

[modifier] Définition générale

Schéma

Moment quadratique de la section S par rapport à l’axe $O\vec x$ :

$I_x = \int_{S}y^2\, ds = \iint_{S}y^2\, dxdy$

Moment quadratique de la section S par rapport à l’axe $O\vec y$ :

$I_y= \int_{S}x^2\, ds = \iint_{S}x^2\, dxdy$

Moment quadratique (polaire) de S par rapport au point $O\$ :

$I_O= \int_{S}r^2\, ds$

Remarque: On a $I_O = I_x + I_y\$ puisque: $r^2=x^2+y^2\$ (Théorème de Pythagore).

[modifier] Application de la définition

Schéma

Pour une section carrée de coté $a\$ centrée en $O\$ :

Moment quadratique par rapport à $O\vec x$ :

$I_x= \iint_{S}y^2\, dxdy$
$\Leftrightarrow I_x = \int_{-\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} dx \times \int_{-\frac {a}{2}}^{\frac {a}{2}} y^2 \cdot dy$
$\Leftrightarrow I_x = \left[\frac {a}{2}-\left ( - \frac{a}{2} \right ) \right] \cdot \frac {1}{3} \cdot \left[ \left(\frac {a}{2}\right) ^3 - \left ( - \frac{a}{2} \right ) ^3 \right]$
$\Leftrightarrow I_x= \frac {1}{3} \cdot a \cdot \left ( \frac {a^3}{8} + \frac {a^3}{8} \right )$
$I_x= \frac {a^4}{12}$