Mouvement parabolique

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Le mouvement parabolique est un type de mouvement qui s'effectue lorsqu'un projectile est soumis à une vitesse initiale et à la seule accélération de la pesanteur. Un exemple courant de mouvement parabolique est l'obus tiré depuis un canon.

[modifier] Position du problème

Soit un corps supposé ponctuel de masse m, étudié dans un repère (O, x, y, z), supposé galiléen z étant la verticale, dirigée vers le haut. Ce corps est placé dans un champ de pesanteur, l'accélération de la pesanteur est g. Le corps est lancé depuis le point (x₀, y₀, z₀) avec une vitesse initiale : $\vec V_0=\begin{pmatrix} V_x \\ 0 \\ V_z \end{pmatrix}$

On suppose ici qu'il n'y a pas de composante de vitesse suivant l'axe $\vec y$ , tout le mouvement a donc lieu dans un plan parallèle au plan (xOz). On note t le temps.

[modifier] Résolution de l'équation

La seule force à laquelle soit soumise le corps est la gravité (on peut affiner le problème en ajoutant par exemple le frottement dû à l'air). La seule accélération imprimée au corps est donc l'accélération de la pesanteur.

$\vec a = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -g \end{pmatrix}$

Pour en déduire la vitesse, il suffit d'intégrer l'accélération.

$\vec V = \begin{pmatrix}C1 \\ C2 \\ -g\,t+C3 \end{pmatrix}$

C1, C2 et C3 sont des constantes d'intégration, données par les conditions initiales. En effet à t = 0, $\vec V = \vec V_0$ , soit $\begin{pmatrix}C1 \\ C2 \\ -g\times 0+C3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_x \\ 0 \\ V_z \end{pmatrix}$ ,

d'où C1 = V_x, C2 = 0 et C3=V_z.

On a donc

$\vec V(t) = \begin{pmatrix}V_x \\ 0 \\ -g\,t+V_z \end{pmatrix}$

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut intégrer la vitesse.

$\overrightarrow{OM}(t)=\begin{pmatrix}V_x\,t+C4 \\ C5 \\ -{1 \over 2}\,g\,t^2+V_z\,t+C6 \end{pmatrix}$

C4, C5 et C6 sont (à nouveau) des constantes d'intégration qui seront déterminées à l'aide des conditions initiales.

A t = 0, $\overrightarrow{OM}(0)= \overrightarrow{OM_0}$

Donc $\begin{pmatrix}V_x\times 0+C4 \\ C5 \\ -{1 \over 2}\,g\times 0^2+V_z\times 0+C6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}.$
d'où $\overrightarrow{OM}(t) = \begin{pmatrix}V_x\,t+x_0 \\ y_0 \\ -{1 \over 2}\,g\,t^2+V_z\,t+z_0 \end{pmatrix}$

[modifier] Équation de la trajectoire

On peut donner l'équation sous la forme z = f(x) (z est une fonction de x ) en remplaçant t dans l'équation de z par l'expression qu'on en tire dans l'équation de x, soit $t={x-x_0 \over V_x}$

On obtient donc : $z(x) = - {1 \over 2}\,g\,\left({x-x_0 \over V_x}\right)^2+V_z\,{x-x_0 \over V_x}+z_0$

$z(x) = -{1 \over 2}\,{g \over V_x^2}\,x^2+\left({V_z \over V_x } - {g \over V_x^2}\right)\,x-{1 \over 2}\,{g \over V_x^2}\,x_0^2-{V_z \over V_x}\,x_0+z_0$

L'équation de ce mouvement indique bien la parabole qui donne son nom à ce mouvement. Cette équation permet aussi de retirer plusieurs informations utile comme par exemple les endroits ou le projectile touche le sol (résoudre l'équation z(x) = 0 ).