N-uplet
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En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second élément, ..., le nème. Les éléments sont aussi appelés composantes.
Si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, ..., an le nème élément, le n-uplet s'écrit : (a1,a2,...,an)
L'égalité des n-uplets se définit par
- (a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn) si et seulement si a1=b1, a2=b2, ..., an=bn.
Un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...
Si E1, ..., En sont des ensembles alors l'ensemble des n-uplets (a1,a2,...,an) où a1 appartient à E1, ..., an appartient à En est le produit cartésien des ensembles E1, ..., En.
Sommaire |
[modifier] Exemples
- Les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de réels
- les nombres complexes sont construits à partir de couples de réels
- un quaternion peut être représenté par un quadruplet.
[modifier] Formalisation
Formellement, un n-uplet peut être défini en terme d'ensemble par
- (a1,a2,...,an)={a1,{a1,{a2,{a2,{a3,{a3,...,{an-1,{an-1,an}}...}}}}
ou en utilisant une définition récursive :
- un 1-uplet (a1) est simplement a1;
- si x est un n-uplet, alors (x,an+1) (i.e. {x,{x,an+1}}) est un (n+1)-uplet.
Il est assez facile de démontrer que ces définitions sont équivalentes, cependant les ensembles obtenus sont très différents.
[modifier] Programmation
Beaucoup de langages de programmation supportent les n-uplets comme type de donnée, formés aussi bien d'objets tous de même type ou d'objets de types différents.
Le langage de programmation LISP a utilisé dès ses débuts la notion abstraite de paire pour créer toutes ses structures de n-uplets et de listes, de manière similaire à la définition récursive précédente.
