Noyau de Dirichlet

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Dans la théorie des séries de Fourier, le noyau de Dirichlet est un polynôme trigonométrique qui permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il a pour expressions :

.

Pour cette dernière expression, la fraction n'est pas définie aux points multiples entiers de 2π, mais se prolonge par continuité (et de manière ) par les valeurs :

.

Le noyau de Dirichlet intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes.

Sommaire 1 Considérations élémentaires 1.1 Équivalence des deux écritures du noyau de Dirichlet 1.1.1 Variante 1.1.2 Le cas eix = 1 1.2 Propriétés du noyau de Dirichlet 2 Opérateur associé 3 Introduction au formalisme des distributions

[modifier] Considérations élémentaires

[modifier] Équivalence des deux écritures du noyau de Dirichlet

L'identité trigonométrique qui apparaît au début de l'article peut être établie par le calcul d'une somme d'une série géométrique de raison e^ix.

Rappelons que la somme partielle au rang n d'une série géométrique de raison r≠1 vaut

Ici c'est une somme symétrique qui nous intéresse

L'expression à gauche du symbole égal nous incite à penser que la somme est une fonction symétrique de r et 1/r. Mais dans l'expression à droite du symbole égal, il est difficile de diagnostiquer une telle symétrie par rapport à ces deux quantités. Le remède est de multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par r^-1/2, pour obtenir

Dans le cas où r = e^ix nous avons:

et alors « -2i » disparaît.

[modifier] Variante

Un autre guide pour le calcul peut être l'idée suivante : le calcul de la somme ou de la différence de deux complexes de même module se fait en introduisant l'angle moitié

On procède ainsi au numérateur et au dénominateur.

[modifier] Le cas e^ix = 1

L'égalité des deux expressions a été établie pour , c'est-à-dire pour des valeurs de x non multiples de 2π.

L'expression peut donc être prolongée par continuité en tout point multiple de 2π

[modifier] Propriétés du noyau de Dirichlet

• C'est un polynôme trigonométrique, donc une fonction , 2π périodique.
• Il est pair
• Sa valeur moyenne est 1 ;
• comportement asymptotique de la norme de la convergence en moyenne

[modifier] Opérateur associé

Le n-ième terme de la série de Fourier d'une fonction f 2π périodique intégrable s'écrit :

 ;

L'identité précédente est un produit de convolution, ou l'application d'un opérateur à noyau.

C'est à partir de cette expression et des propriétés du noyau de Dirichlet qu'on démontre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Cet opérateur est un opérateur borné sur l'espace des fonctions continues, dont la norme d'opérateur est majorée par .

En spécialisant l'étude en un point x particulier, l'application a pour norme d'opérateur lui même, qui tend vers l'infini avec n. À l'aide du théorème de Banach-Steinhaus, on peut en déduire qu'il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge au point x.

[modifier] Introduction au formalisme des distributions

Le noyau de Dirichlet est 2π fois la somme d'ordre n du développement en séries de Fourier d'une « fonction », en théorie des distributions, de période 2π donnée par

où δ est la fonction delta de Dirac, qui n'est pas vraiment une fonction, dans le sens d'application d'un ensemble vers un autre, mais est plutôt une «fonction généralisée», aussi appelée une distribution. En d'autres termes, le développement en série de Fourier de cette « fonction » s'écrit

Cette « fonction périodique delta » est l'élément neutre pour le produit de convolution défini sur l'ensemble des fonctions de période 2π par

Autrement dit,

pour toute fonction f de période 2π, f * δ_p = δ_p * f = f

Le produit de convolution de D_n avec n'importe quelle fonction f de période 2π est égal à la somme d'ordre n du développement en série de Fourier de f, i.e., nous avons

où

est le kème coefficient de Fourier de f.