Polynôme cyclotomique

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Carl Friedrich Gauss

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, on appelle polynôme cyclotomique tout polynôme minimal d'une racine de l'unité et à coefficients dans un corps premier. Un corps premier est un corps engendré par l'unité de la multiplication. Les polynômes ainsi obtenus sont aussi ceux qui apparaissent dans la décomposition des polynômes $X n - 1$ en produit de facteurs irréductibles.

Sur le corps des rationnels un polynôme cyclotomique possède des propriétés fortes, c'est un polynôme à coefficients entiers, de degré égal à $φ$ (n) si la racine considérée est une racine primitive n-ième de l'unité, où φ désigne la fonction indicatrice d'Euler. Les racines du polynôme cyclotomique sont toutes les racines primitives n-ièmes de l'unité.

Dans le contexte des corps de caractéristique finie, il est nécessaire de faire appel à la théorie de Galois, ils apparaissent essentiels car tout polynôme irréductible est un polynôme cyclotomique (à l'exception du monôme unitaire de degré un).

D'une manière générale, le corps de décomposition encore appelé extension cyclotomique associé est une extension abélienne dont le groupe de Galois est cyclique.

L'analyse de ces polynômes permet la résolution de nombreux problèmes. Historiquement, la construction des polygones réguliers à la règle et au compas est celui qui a amené le développement du concept. Ils sont largement utilisés dans la théorie de Galois, pour la résolution d'équations algébriques et la compréhension de la structure des extensions abéliennes. Ils sont aussi au cœur de la cryptographie pour la conception de codes correcteurs.

[modifier] Histoire

[modifier] Naissance de la notion

Le traité d'analyse des polynômes cyclotomiques

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) utilise dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801, les polynômes cylotomiques. Il apporte une contribution majeure à un problème ouvert depuis l'Antiquité: celui de la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Ces travaux servent de référence durant tout le siècle. Dans ce texte, Gauss détermine avec exactitude la liste des polygones constructibles, et donne une méthode effective pour leur construction jusqu'à 256 cotés. La fin de la problématique est traitée par Pierre-Laurent Wantzel (1814 - 1848) dans un article^[1] désormais célèbre.

Cette approche est novatrice et, à bien des égards, préfigure l'algèbre moderne:

Un polynôme n'apparaît plus comme un objet à part entière mais comme un élément d'un ensemble structuré. Si la notion d'anneau des polynômes n'est pas encore formalisé, sa structure euclidienne est découverte et représente l'outil de base de l'analyse de Gauss.

La résolution effective de l'équation cyclotomique l'amène à considérer une structure finie: celle des permutations des racines. On les appelle maintenant période de Gauss. Là encore leurs propriétés algébriques permettent de trouver la solution. Cette approche préfigure l'utilisation de la théorie des groupes en algèbre et la théorie de Galois.

De nouvelles structures sont mises à jour. La division euclidienne introduit la notion de reste et leur ensemble possède des propriétés algébriques fortes. Une telle structure est maintenant considérée comme un cas particulier de corps fini si le diviseur est un nombre premier. Gauss met en évidence de tels ensembles et utilise avant l'heure le transport de structure par morphisme entre deux anneaux pour montrer le caractère irréductible des polynômes cyclotomiques. Dans le même livre, il utilise ces mêmes structures pour résoudre un autre problème pressenti par Fermat (1601 - 1685) et formalisé par Euler (1707 - 1783) celui de la loi de réciprocité quadratique.

Les applications trouvées dès cette époque ne manquent pas. L'utilisation de la géométrie ne se limite pas à la construction à la règle et au compas. Le polynôme cyclotomique d'indice quatre permet la construction d'un nouvel ensemble de nombres algébriques celui des entiers de Gauss. Une branche mathématique naît: la théorie algébrique des nombres, elle simplifie la résolution d'équations diophantiennes et permet d'en résoudre de nouvelles.

[modifier] Polynôme cyclotomique et équation algébrique

Évariste Galois

La recherche de solutions à l'équation polynômiale est un problème qui remonte aux premiers développements sur les polynomes par les mathématiciens de langue arabe. Si l'on cite généralement Al-Khawarizmi (783 850) comme précurseur^[2] avec la résolution de six équations canoniques puis Gerolamo Cardano (1501 - 1576) pour la résolution du cas de degré trois^[3] et Ludovico Ferrari (1522 - 1565) pour le quatrième degré, le cas général est resté longtemps mystérieux.

Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) comprend que la résolution de ce problème général est intimement liée aux propriétés des permutations des racines^[4]. Le cas particulier des polynômes cyclotomiques l'illustre. Le groupe des bonnes permutations, aujourd'hui appelé groupe de Galois, est non seulement commutatif mais de plus cyclique. Cette propriété, utilisée à travers le concept des périodes de Gauss, permet une résolution effective pour ce cas particulier.

Une analyse plus profonde par Paolo Ruffini^[5] (1765 - 1822), Niels Henrik Abel^[6] (1802 - 1829) et surtout par Evariste Galois^[7] (1811 - 1832) montre que l'aspect commutatif du groupe est en fait une condition suffisante. Pour être précis, la condition indique que le groupe doit être décomposable en une suite de groupes emboîtés commutatifs. La question naturelle qui se pose alors est de déterminer les extensions du corps des rationnels dont le groupe de Galois est commutatif. Ces extensions sont appelées extensions abéliennes. La structure de corps associée au polynôme cyclotomique, appelée extension cyclotomique, en est un exemple. Qu'elle soit unique signifie que toute équation algébrique résoluble par radicaux se ramène d'une manière ou d'une autre à un polynôme cyclotomique. La réponse est positive : toute extension abélienne du corps des rationnels est un sous-corps d'une extension cyclotomique. Ce résultat a demandé presque un demi-siècle d'effort pour pouvoir être démontré^[8]. Les artisans principaux sont Leopold Kronecker (1823 - 1891) et Heinrich Weber (1842 - 1913).

Si l'analyse des extensions abéliennes finies se termine avec le XIXe siècle, elle laisse ouvert un large champ de questions, par exemple en arithmétique. Il apparaît alors nécessaire de généraliser la notion de corps cyclotomique sur les extensions infinies. Le sujet est ouvert^[9] par David Hilbert (1862 - 1943). Cet axe de recherche est appelé la théorie des corps de classe. Cette théorie est l'une des plus fructueuses au XX^e siècle. On peut citer par exemple le théorème de réciprocité^[10] d'Emil Artin (1898 - 1962) qui résout le neuvième des problèmes de Hilbert, ou plus récemment, deux lauréats de la médaille Fields pour leurs travaux sur des généralisations de la théorie : Vladimir Drinfeld en 1990 ou Laurent Lafforgue en 2002.

[modifier] Corps fini

Le développement de l'ébauche de la théorie des corps finis initié par Gauss demande plus de temps. À la fin du XIXe siècle la théorie des groupes fait apparaître la nécessité de travailler sur d'autres extensions que celle des nombres rationnels. La représentations des groupes^[11] impose à Frobenius (1849 - 1917) l'étude des corps de caractéristique finie. Ce sont les corps où la somme itérée de l'unité finit par être égale à zéro. Une analyse, à l'aide de la théorie de Galois montre que, dans ce contexte, la théorie des corps finis est essentielle. Sa connaissance suffit pour la compéhension de la structure des polynômes cyclotomiques dans le cas de la caractéristique finie.

L'analyse de ces corps est rapide, notamment grace à l'apport de l'école américaine. Au début du XX^e siècle, les travaux de Leonard Dickson (1874, 1954) puis de Joseph Wedderburn (1882, 1948) mettent en évidence leur structure. Dickson publie^[12] la première étude systématique et Wedderburn démontre en 1905 son théorème stipulant que tout corps fini est abélien. Les polynômes cyclotomiques sont essentiels car ils forment l'ensemble des polynômes irréductibles (à l'exception du monôme unitaire de degré un: X). Sur tous les corps de caractéristique finie, toutes les extensions finies sont cyclotomiques.

Durant la deuxième moitié du XX^e siècle un nouveau champs d'investigation utilise les corps finis, la cryptographie. Si la sécurité d'un code ne nécessite pas l'utilisation des polynômes cyclotomiques, en revanche la fiabilité, c'est à dire la capacité à corriger les erreurs utilise les polynômes, on parle alors de code correcteur. Ce type de code, pour être optimal, utilise les corps finis et les polynômes cyclotomiques. On peut citer par exemple le code de Hamming ou dans un cas plus général les codes permettant un contrôle de redondance cyclique. La dimension algorithmique est aussi largement étudiée.

[modifier] Définition et exemples

[modifier] Définition

Soit n un entier strictement positif alors le polynôme cyclotomique d'indice n est le polynôme minimal sur un corps premier d'une racine primitive n-ième de l'unité. On le note en général $Φ n [X]$ .

Un corps est dit premier s'il ne contient pas de sous-corps autre que {0} et lui même. C'est le plus petit sous-corps contenant 1 et tous ses itérés par l'addition. Le cas le plus connu est celui des nombres rationnels.

Dans le cas des rationnels, si la séquence finie (z_k) décrit les racines primitives n-ièmes de l'unité dans le corps des complexes et $φ$ la fonction indicatrice d'Euler, le polynôme $Φ n$ est donné par:

$\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)\;$ .

Il est à noter que les polynômes cyclotomiques sont des polynômes unitaires à coefficients entiers. De plus, il est possible d'appliquer à $Φ n$ le morphisme d'anneau de Z[X] dans Z/pZ[X]. En particulier, si p est un nombre premier, Z/pZ est un corps fini. Une telle approche est utilisée pour démontrer le caractère irréductible du polynôme précédent.

On appelle corps cyclotomique ou extension cyclotomique le plus petit sous-corps du corps des nombres complexes contenant tous les nombres rationnels et une racine primitive n-ième de l'unité. Au lieu de se placer dans le corps des complexes, on aurait pu considérer les racines primitives n-ièmes de l'unité dans n'importe quelle extension (finie ou infinie) du corps des rationnels dans laquelle au moins une telle racine primitive existe. une telle extension contient une copie du corps cyclotomique.

Dans le cas où le corps n'est pas celui des rationnels, alors il est de cardinal fini p et p est un nombre premier. Il correspond à la structure Z/pZ et il est noté F_p. La théorie de Galois assure l'existence d'un plus petit sur-corps de F_p contenant une racine primitive n-ième de l'unité, on l'appelle aussi extension cyclotomique. Une fois encore, tout corps de caractéristique p (c'est à dire contenant F_p) et possèdant une racine primitive n-ième de l'unité contient une copie de l'extension cyclotomique.

Remarque: Les propriétés associées à la définition sont démontrées à la suite dans cet article.

[modifier] Premiers polynômes cyclotomiques

Les premiers polynômes cyclotomiques dans le cas des nombres rationnels sont :

$\Phi_1[X] = X - 1\,$

$\Phi_2[X] = X + 1\,$

$\Phi_3[X] = X^2 + X + 1\,$

$\Phi_4[X] = X^2 + 1\,$

$\Phi_5[X] = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,$

$\Phi_6[X] = X^2 - X + 1\,$

$\Phi_7[X] = X^6+X^5+X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,$

Il faut noter que, contrairement aux apparences, tous les coefficients des polynômes cyclotomiques ne sont pas 1, -1 ou 0 ; le premier polynôme cyclotomique pour lequel un coefficient entier distinct de 0, 1, -1 apparait est Φ₁₀₅. 105 = 3×5×7 est le premier produit de trois nombres premiers impairs.

En effet :

$Φ 105 [X] = X 48 + X 47 + X 46 - X 43 - X 42 - 2 X 41 - X 40 - X 39 + X 36 + X 35 + X 34 + X 33 + X 32 + X 31 - X 28 - X 26 - X 24 - X 22 - X 20 + X 17 + X 16 + X 15 + X 14 + X 13 + X 12 - X 9 - X 8 - 2 X 7 - X 6 - X 5 + X 2 + X + 1$

Dans le cas de la caractéristique fini, les polynômes précédents ne sont pas toujours irréductibles. On peut ainsi considérer le corps à deux éléments {0,1} noté F₂. Il possède les tables d'opérations suivantes:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

.	0	1
0	0	0
1	0	1

Le polynôme à coefficient dans Z φ₇[X] a pour image par le morphisme canonique dans F₂[X] (qui aux coefficients pairs associe 0 et aux impairs 1) un polynôme qui possède bien les racines septièmes primitives de l'unité, mais ce polynôme n'est pas irréductible, en effet:

$Dans \quad \mathbb F_2[X]: \quad X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1=(X^3+X^2+1)(X^3+X+1)\;$

D'autres exemples sont donnés dans l'article le paragraphe Polynôme irréductible de l'article sur les corps finis.

[modifier] Propriétés remarquables

[modifier] Cas du corps des nombres rationnels

Sans utiliser les outils sophistiqués que représente la théorie de Galois, il est possible de démontrer des propriétés fortes sur les polynômes cyclotomiques. Ce sont celles présentées dans ce paragraphe. Elles ont toutes été démontrées par Gauss dans son traité de 1801.

Pour un souci d'exposition, la définition initiale du polynôme cylotomique $Φ n [X]$ utilisée ici est, avec les notations de la définition:

$\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)\;$

Les propriétés suivantes sont vérifiées:

Le polynôme Xⁿ-1 se factorise comme suit, où le produit porte sur l'ensemble des entiers strictements positifs qui divisent n:

$X^n-1= \prod_{d|n} \Phi_d[X]\;$ .

L'identité sur les degrés fournit immédiatement :

$n=\sum_{d|n} \phi(d)\;$ .

Cette identité peut aussi s'obtenir par des considérations sur les fonctions multiplicatives ou par un raisonnement direct de dénombrement des éléments de l'anneau Z/n Z (lire indicatrice d'Euler).

Si p est un nombre premier, alors toutes les racines p-ièmes de l'unité sauf 1 sont des racines primitives p-ièmes primitives de l'unité, et l'égalité est vérifiée.

$\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k$

Un polynôme cyclotomique ne possède que des coefficients entiers et son monôme dominant possède un coefficient égal à un.
Un polynôme cyclotomique est irréductible dans l'algèbre des polynomes à coefficients rationnels et dans l'algèbre des polynômes à coefficients entiers.

La figure de droite illustre ces propriétés. Le groupe des racines d'ordre six est décrit par quatre polynômes cyclotomiques, deux racines associées à des polynômes de degré un: un et deux, et quatre de degré deux avec les deux valeurs troisièmes et les deux valeurs sixièmes.

Démonstrations

Montrons l'égalité suivante:

$X^n-1= \prod_{d|n} \Phi_d[X]\;$

Les deux polynômes de l'égalité à démontrer sont des polynômes de monômes dominants égaux à un (polynômes unitaires). De plus ils sont de degré n. Il suffit donc de démontrer par exemple que le premier divise le second.

Le polynôme

X n - 1

admet exactement n racines disctincts, à savoir les n racines n-ièmes de l'unité. Étant de degré n, il n'admet donc aucune racine multiple. Il est donc simplement scindé, produit des monomes deux à deux premiers entre eux X-z où z parcourt les racines n-ièmes de l'unité. Or, toute racine n-ième est exactement une racine primitive d'ordre d pour un unique diviseur d de n. Par définition des polynômes cyclotomiques, z est une racine de

Φ d

; autrement dit, X-z divise

Φ d

. De suite, Xⁿ divise le produit des

Φ d

pour d divisant n.

L'égalité se trouve établie.

Si p est un nombre premier, alors toutes les racines p-ièmes de l'unité sauf 1 sont des racines primitives p-ièmes de l'unité, et l'égalité suivante est vérifiée :

$\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k$

Si z est une racine primitive p-ième de 1, alors l'ordre de z dans le groupe multiplicatif C^* divise nécessairement p. Comme p est premier, l'ordre de z est 1 ou p. Le seul élément d'ordre 1 étant l'élément neutre 1, toute autre racine de p-ième est nécessairement une racine primitive d'ordre p.

Une autre preuve possible présuppose connu que l'indice d'Euler de p est p-1 : toutes les racines p-ièmes de l'unité sauf une doivent alors être primitives. Or 1 n'est une racine primitive d'un nombre premier. Ceci montre que le polynôme X^p - 1 n'admet que deux diviseurs X - 1 et le polynôme cyclotomique associé.

Un polynôme cyclotomique $Φ n [X]$ ne possède que des coefficients entiers et de coefficient dominant égal à un.

Le fait que le coefficient dominant soit égal à un est une évidence.

Montrons par récurrence sur n que le polynôme est à coefficients entiers.

Si n est égal à 1 alors le résultat est vrai car

Φ 1 [X]

= X - 1 (voir la section exemples).

Supposons la propriété vraie pour toute valeur inférieure ou égal à n. Alors la première proposition permet d'affirmer que:

$X^{n+1} -1 = Q_{n+1}[X] \Phi_{n+1} [X]\;$

ou le polynôme Q_n+1[X] est le produit de tout les polynômes cyclotomiques d-ièmes avec d divisant strictement n (ie d divise n et ext distinct de n). Par hypothèse de récurrence, Q_n+1[X] est le produit de polynômes unitaires à coefficients entiers et donc lui-même un polynôme unitaire à coefficient entier. Divisons alors le polynôme à coefficients dans les entiers Xⁿ-1 par Q_n+1[X] dans l'anneau Z[X] des polynômes à coefficients entiers. Cela est réalisable car Q est unitaire ; on obtient alors l'identité:

$X^{n+1} -1 = Q_{n+1}[X].A[X]+B[X]\;$

Avec A[X] et B[X] élément de Z[X], et B de degré strictement inférieur à n. Réalisasons maintenant la division euclidienne dans l'anneau Q[X] l'anneau des polynômes à coefficients rationnels. Il existe une unique solution avec le degré de B[X] strictement inférieur à n+1. On en déduit que les divisions euclidiennes dans Q[X] et dans Z[X] donne exactement le même résultat. En conséquence, B[X] est égal au polynôme nul et A[X] est égal au polynôme cyclotomique. Donc le polynôme cyclotomique est à coefficients entiers.

Un polynôme cyclotomique est irréductible.

Soit z le première des racines primitives n-ièmes. C'est à dire z = exp(2 $π$ .i/n). Soit M₁[X] le polynôme minimal de z

M₁[X] est un polynôme à coefficients entiers unitaire.

z est racine du polynôme Xⁿ - 1 est donc son polynôme minimal divise ce polynôme. Il existe donc un polynôme à coefficients entiers tel que l'égalité suivante soit vérifiée:

$X^n-1=\lambda. M_1[X].P[X]\;$

Où $λ$ est choisi de telle manière à ce que le polynôme P[X] soit à coefficients entiers. La démonstration précédente a établi que dans ce contexte, λ.M₁ [X] est aussi un polynôme à coefficients entiers. De plus comme Xⁿ - 1 est unitaire, il en est de même pour M₁ [X] et P[X] et λ est égal à 1.

Si p est un nombre premier qui ne divise pas n alors z ^p est racine de M₁[X].

Raisonons par l'absurde et supposons que cela ne soit pas le cas. Soit M_p [X] le polynôme minimal de z ^p alors M_p [X] ne divise pas M₁ [X] mais divise Xⁿ - 1. Il divise donc le polynôme P[X]. Il existe donc un polynôme Q[X] vérifiant l'égalité suivante:

$X^n-1=M_1[X].M_p[X].Q[X]\;$

Un raisonnement analogue à celui sur P[X] montre que Q[X] est unitaire à coefficients entiers. z ^p est racine du polynôme M_p [X] et donc z est racine du polynôme M_p [X^p]. On en déduit que M_p [X^p] est un multiple de M₁ [X]. Il existe donc un polynôme unitaire R[X] à coefficients entiers vérifiant:

$M_p[X^p]=M_1[X].R[X]\;$

Par passage au modulo p, en remarquant que la formule du binôme devient

$(\bar{A}+\bar{B})^p=\bar{A}^p+\bar{B}^p \mbox{ et donc } \bar{M}_p[X^p]=\bar{M}_p[X]^p$ en conséquence $X^n-\bar{1}=\bar{M}_1[X].\bar{M}_p[X].\bar{Q}[X]\quad et \quad \bar{M}_p[X]^p=\bar{M}_1[X].\bar{Q}[X]$

Soit D[X] un diviseur irréductible de degré strictement supérieur à 1 de M₁ [X] dans l'anneau quotient (s'il n'en admet pas d'autres que 1 et lui-même sur les entiers, il n'en est pas de même sur l'anneau quotient) alors il divise aussi M_p [X] dans l'anneau quotient puisqu'il divise sa puissance. On en déduit que son carré divise Xⁿ - 1 et D[X] divise la dérivée formelle de Xⁿ - 1 dans l'anneau quotient. D[X] divise donc nX^n-1 dans l'anneau quotient, et ce polynôme est non nul si car n et p sont premiers entre eux. On en déduit que D[X] est égal à X car il est irreductible. Or X ne divise pas Xⁿ - 1 dans l'anneau quotient. D'où une contradiction. En conséquence nous avons montré que M_p [X] est égal à M₁ [X].

Si k est un nombre qui ne divise pas n alors z ^k est racine de M₁[X].

Le nombre k est produit de q nombres premiers qui ne divise pas n. Un récurrence sur k permet de conclure, en effet si k est égal à 1 nous sommes dans la démonstration précédente. Si le raisonnement est vraie pour le produit de k nombres premiers, alors il suffit de remarquer que si z' est égal à z à la puissance k nombres premiers est racine et le raisonnement précédent montre que z' à la puissance un nombre premier premier avec n est encore racine. Et la récurrence est terminée.

En conclusion, le polynôme minimal de z contient pour racine au moins toutes les racines du polynôme cyclotomique. Le polynôme cyclotomique divise donc le polynôme minimal. Comme celui-ci est irréductible, l'égalité est établie.

[modifier] Cas de la caractéristique finie

[modifier] Corps de décomposition

Voir l’article Corps de décomposition.

Soit p la caractéristique du corps premier, ce corps est celui de l'arithmétique modulaire isomorphe à Z/p.Z. On peut considérer dans un tel corps un polynôme du type Xⁿ - 1, par exemple dans F₂[X] le polynôme X³ - 1. Dans le cas de Q, il existe une extension de corps celui des nombres complexes contenant les racines du polynôme. La théorie de Galois, à l'aide des exenstions algébriques permet de trouver une extension dans lequel le polynôme est scindé, c'est à dire que l'extension contient toutes ses racines. Un tel corps est appelé corps de décomposition. Dans l'exemple cité, le corps est celui noté en général F₄ contenant quatre éléments. Sa table est la suivante:

Illustration graphique du groupe multiplicatif de F₄

+	0	1	t	1+t
0	0	1	t	1+t
1	1	0	1+t	t
t	t	1+t	0	1
1+t	1+t	t	1	0

.	1	t	1+t
0	0	0	0
1	1	t	1+t
t	t	1+t	1
1+t	1+t	1	t

Dans ce corps, t et 1 + t sont les deux racines supplémentaires du polynôme X³ - 1. L'étude des extensions algébriques montre que tout corps contenant les racines d'un polynôme contient un sous corps isomorphe à F₄. En conséquence tout corps de caractéristique deux contenant les racines possède une copie exacte de F₄. Les solutions trouvées et leur comportement algébrique sont donc toujours les mêmes. Ce résulat est général à toute extension finie et donc à tout polynôme cyclotomique.

La théorie des corps finis permet d'aller plus loin. Les seuls extensions d'un corps premier F_p est une extension de cardinal une puissance de p et il existe une et une unique extension de cardinal p^m où m est un entier strictement positif. De plus, le groupe multiplicatif d'une tel extension est un groupe cyclique de cardinal pⁿ - 1 (0 n'est pas élément du groupe multiplicatif car il n'a pas d'inverse). La figure de droite l'illustre dans le cas de F₄, tout élément autre que 0 apparaît comme une racine de l'unité. La multiplication est représentée graphique comme pour le corps des complexes. En revanche, l'addition n'est pas représentée.

[modifier] Automorphisme de Frobenius

Voir les articles Corps fini et Automorphisme de Frobenius.

Ferdinand Georg Frobenius

Dans le cas d'un corps fini de caractéristique p et de cardinal p^d il existe un automorphisme digne d'intérêt: l'automorphisme de Frobenius. À un élément x du corps il associe x^p. Cet automorphisme est un générateur du groupe de Galois et sa d-ième puissance est égale à l'identité. Pour cette raison et dans ce contexte on appelle souvent le groupe de Galois groupe de Frobenius. Cette égalité se traduit en terme polynomial par:

$X^{p^d}=X\quad et \quad X^{p^d-1}-1=0\;$

Et tout élément du corps différent de zéro est une racine de l'unité. Un polynôme irréductible autre de X (qui admet pour racine zéro) est un polynôme cyclotomique. La détermination des polynômes cyclotomiques correspond donc à un classement des polynômes irréductibles. On en déduit la proposition suivante:

Tout élément non nul d'un corps fini est une racine de l'unité et tout polynôme irréductible différent que X est un polynôme cyclotomique.

Soit z₁ une racine primitive n-ième de l'unité. La théorie de Galois démontre que son polynôme minimal admet pour racines les images de z₁ par le groupe de Frobenius, car un corps fini est une extension galoisienne du corps premier. Ce qui se traduit en termes mathématiques

L'ensemble des racines du polynôme cyclotomique de z₁ est l'orbite de z₁ par l'action du groupe de Frobenius notée Orb (z₁). La formule du polynôme est la suivante:

$\Phi_{z_1}[X]=\prod_{z \in Orb(z_1)} (X - z)\;$

L'image par un automorphisme d'une racine n-ième primitive de l'unité est une racine primitive n-ième de l'unité, et:

Un polynôme cyclotomique d'indice n divise l'image du polynôme cyclotomique à coefficients entiers par le morphisme canonique de Z[X] dans F_p[X].

Il reste à savoir si les deux polynômes sont égaux, c'est à dire si l'orbite de z₁ contient toutes les racines primitives n-ième de l'unité. L'exemple donné sur F₂ montre que ce n'est pas toujours le cas. La théorie de Galois permet d'affirmer que le degré du polynôme cyclotomique de z₁ est la dimension δ du corps de décomposition, considéré comme un espace vectoriel sur le corps primitif. Le corps de décomposition est un ensemble de cardinal p^δ. Son groupe multiplicatif est un groupe cyclique d'ordre p^δ -1. La théorie des groupes abéliens de type fini, démontrée pour la première fois par Frobenius, montre que ce groupe contient les racines n-ième de l'unité si et seulement si son cardinal est un multiple de n. En conséquence δ est égal à l'ordre multiplicatif de p modulo n, c'est à dire le plus petit entier δ tel que p^δ-1 soit un multiple de n.

Un polynôme cyclotomique d'indice n sur F_p est de degré l'ordre multiplicatif de p modulo n.

Le théorème d'Euler montre que:

$p^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$

Cependant, l'ordre multiplicatif de p modulo n est égal à φ(n) si et seulement si n - 1 n'est pas un multiple de p. Dans l'exemple précédent, p est égal à 2, n à sept, φ(n) égale six, un multiple de p. Le théorème d'Euler est bien vérifié car soixante quatre est congru à un modulo sept, mais l'ordre multiplicatif est égal à trois car huit est congru à un modulo sept.

Si δ désigne l'ordre multiplicatif de p modulo n, il existe φ(n)/δ polynômes cyclotomiques d'indice n sur F_p. Leur degré est égal à δ et leur produit est l'image du polynôme cyclotomique d'indice n à coefficients dans Z par le morphisme canonique de Z[X] dans F_p[X].

Des exemples sont donnés dans l'article corps fini.

[modifier] Extension cyclotomique

L'extension cyclotomique est par définition le corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est à dire le plus petit corps contenant une racine primitive n-ième d'un polynôme cyclotomique. (Rappelons qu'un corps de rupture d'un polynôme est une extension de corps permettant une factorisation de ce polynôme.) Il possède des propriétés fortes, à l'origine de nombreuses applications:

L'extension cyclotomique est un espace vectoriel sur le corps des nombres rationnels de dimension φ(n).

Cette propriété est générale aux corps de ruptures. La démonstration est donnée dans l'article Extension algébrique.

L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc galoisienne.

Cela signifie que le plus petit corps contenant une racine du polynôme contient aussi toutes les racines du polynôme. Dire que ce corps est une extension galoisienne signifie deux choses: d'une part, les polynômes minimaux de ce corps n'ont pas de racines multiples (ce qui est toujours vraie pour les extensions sur les nombres rationnels) ; et d'autre part, tous les morphismes de ce corps dans les nombres complexes ont pour image le corps lui-même. Ce sont donc des automorphismes. Ils forment une structure de groupe appelé groupe de Galois. La théorie de Galois indique que c'est la bonne structure pour rechercher une expression des racines par radicaux.

L'extension cyclotomique est abélienne.

Cela signifie que le groupe de Galois est commutatif (ou abélien). L'équation polynomiale cyclotomique est alors résoluble par radicaux. Autrement dit, les solutions s'expriment à l'aide des uniques quatre opérations (additionner, soustraire, diviser et multiplier) et des racines p-ième appliquées un nombre fini de fois sur des nombres rationnels et l'imaginaire pure i. Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'Abel. Il est ainsi possible par exemple de résoudre par radicaux l'équation cyclotomique donnant la racine dix-septième de l'unité. C'est une condition nécessaire pour la résolution de la construction par la règle et le compas du polygone régulier à dix-sept cotés (voir ci-dessous).

L'extension cyclotomique est une tour d'extension quadratique si et seulement si n est de la forme suivante:

$n=2^k \prod_iF_i\;$

Où les F_i sont des nombres premiers de Fermat distincts.

Ce résultat est aussi connu sous le nom de Théorème de Gauss-Wantzel. Une tour d'extension quadratique est un corps tel que pour chaque élément x du corps, il existe une suite de sous-corps K₀, K₁, ..., K_p avec K₀ égal au corps de base, ici celui des rationnels, K_p contient x, et, pour tout i entre 1 et p, K_i contient K_{i - 1} et est un espace vectoriel de dimension 2 sur K_{i - 1}.

Dire que K_i contient K_{i - 1} et est un espace vectoriel de dimension 2 sur K_{i - 1} revient seulement à dire que tout élément de K_i s'exprime comme la somme d'un nombre de K_{i - 1} et d'une racine carré d'un nombre de K_{i - 1}. En particulier, tout élément de K_i s'exprime comme racine d'un polynôme de degré 2 sur Ki-1. Cette propriété est démontrée dans l'article Extension quadratique.

Or l'article sur les nombres constructibles montre qu'un point est constructible si et seulement si il vérifie cette propriété. Cette propriété permet donc de déterminer la liste des polygones constructibles et assure qu'ils le sont effectivement.

Un nombre premier de Fermat est un nombre premier de la forme $2^{2^k} + 1$ où k est un entier. Les nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65 537.

Démonstrations

L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc une galoisienne.

L'extension contient z et donc toutes ses puissances, or les puissances de z forment l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité et donc en particulier les racines primitives qui sont les racines du polynôme cyclotomique. Ceci démontre que Q[z] est le corps de décomposition. Dans un corps parfait comme celui des rationnels (un corps parfait est un corps où tous les polynômes irréductibles sont séparables c'est à dire n'ont pas de racines multiples dans la clôture algébrique) un corps de décomposition est toujours une extension de Galois.

L'extension cyclotomique est abélienne.

Soit d un entier plus petit que n et qui ne divise pas n. Alors z^d est une racine du polynôme cyclotomique et il existe au moins un morphisme qui envoie z sur z^d (cf première proposition du paragraphe Extension algébrique et sur-corps). Il n'existe qu'un unique moyen de prolonger sur l'extension le morphisme m_d qui à z associe z^d. En effet m_d(zⁱ) = m_d(z)ⁱ = z ^i.d. Or la famille des z ⁱ si i varie de 0 à φ(n) - 1 forme une base de l'extension. Les automorphismes du groupe de galois sont donc parfaitement déterminés.

Considérons alors l'application du groupe multiplicatif des éléments inversibles de $\mathbb{Z} / \varphi(n)\mathbb{Z}$ du groupe de Galois qui, à la classe de d associe l'automorphisme m_d. Cette application est clairement un isomorphisme de groupe. Cet isomorphisme montre que le groupe de Galois est abélien, et même cyclique, ce qui termine la démonstration.

Condition nécessaire pour que l'extension soit une tour d'extension quadratique.

Par définition d'une tour d'extension quadratique, une condition nécessaire est que la dimension de l'extension soit une puissance de deux. Etudions alors les entiers n tel que φ(n) soit une puissance de deux.

Remarquons tout d'abord que si n est égal à p.q avec p et q premiers entre eux alors nous avons l'égalité suivante φ(n) = φ(p).φ(q) (cf l'article Indicatrice d'Euler). Considérons alors la décomposition de n en facteur premier (cf l'article Théorème fondamental de l'arithmétique).

$n= \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}\;$

L'indicatrice d'Euler d'une puissance d'un nombre premier p^α est égale à (p - 1). p^{α -1}. Il suffit donc de trouver une condition nécessaire et suffisante pour que le facteur (p - 1). p^{α -1} soit une puissance de deux et appliquer cette condition à chacun des facteurs de l'égalité précédente. Deux cas se présentent, soit p est égal à 2 et toute valeur de α est acceptable, soit p est un nombre premier de la forme 2^k + 1 avec k un entier strictement positif et α est égal à 1.

Montrons par contraposé que si p est un nombre premier de la forme 2^k + 1 alors k est une puissance de deux. Si tel n'est pas le cas, alors il existe deux entiers a et b tel que k = a . 2^b où a est un entier impair et b un entier. L'égalité suivante est vérifiée p = 1 + c^a ou c = 2^b. Dans ce cas, comme a est impair, on a l'égalité:

$p = (1 + c^a) = (1 + c). \sum_{1=0}^{a-1} (-1)^i c^i\;$

L'égalité précédente montre que 1 + c est un diviseur de p. Par contraposé, si p est premier, il est donc égal à un nombre de Fermat.

En conclusion n est de la forme suivante:

$n=2^k \prod_iF_i\;$

Où les F_i sont des nombres premiers de Fermat distincts. Et la condition nécessaire est démontrée.

Condition suffisante pour que l'extension soit une tour d'extension quadratique.

Le polynôme cyclotomique est alors de degré φ(n) et est une puissance de deux. Notons 2^k ce degré. Le groupe de Galois est alors le groupe cyclique de cardinal 2^k.

Montrons que si l est un entier inférieur à k il existe un sous-groupe G_l du groupe cyclique de cardinal 2^l et tel que si l est non nul alors G_{l - 1} est inclu dans G_l. Définissons G_l comme le sous-groupe engendré par la classe de 2^k-l. Par définition G_{l - 1} est inclu dans G_l si l est non nul. De plus le cardinal de G_l est clairement égal à 2^k-l.

On remarque ensuite que G_l-1 est un sous-goupe distingué de G_l car ce sont des groupes abéliens, donc tout sous-goupe est distingué. Ensuite le cardinal du groupe quotient de G_l par G_{l - 1} est deux.

Le théorème fondamental de la théorie de Galois assure que si K_{k- l} est le sous-corps de l'extension qui laisse invariant tous les automorphismes de G_l (on a ici identifié le groupe de Galois et le groupe cyclique) alors si l est non nul K_l est une extension galoisienne de K_{l - 1} de dimension deux donc quadratique, que K₀ est égal au corps des nombres rationnels et que K_k est le corps de décomposition du polynôme cyclotomique.

Nous avons donc monté une tour d'extension quadratique du corps de décomposition et le théorème est démontré.

[modifier] Applications

[modifier] Théorème de Wedderburn

Voir l’article théorème de Wedderburn.

Le théorème de Wedderburn affirme que tout corps fini K est nécessairement commutatif. La démonstration usuelle est relativement curieuse. Tout d'abord le polynôme cyclotomique utilisé est celui de la caractéristique zéro et non celui du corps. Ensuite, son rôle est celui d'un dénombrement. Le raisonnement est par l'absurde, les cardinaux des classes par l'action par conjugaison sont sommés pour obtenir le cardinal du groupe multiplicatif du corps. Cette égalité s'exprime par une expression du type:

$q-1=F(q)\Phi_n(q)\;$ ,

La valeur q est celle du centre du groupe multiplicatif de K plus 1 correspondant au point zéro, F[X] est un polynôme à coefficients entiers. Ce qui implique que F[q] est une valeur entière. La fin de la démonstration quitte le dénombrement pour devenir géométrique. Si l'égalité précédente, est vraie, alors il existe une racine primitive n-ième de l'unité u vérifiant la majoration suivante:

$|q-u|\le q-1$

Comme q - 1 est le cardinal du centre du groupe commutatif q est au moins égal à 2. La figure de droite démontre l'impossibilité. La démonstration détaillée est donnée dans l'article associé.

[modifier] Polygône constructible

[modifier] Cas du pentagone

Construction d'un pentagone

Article détaillé : Construction du pentagone régulier à la règle et au compas.

Si la théorie de Galois prend un aspect quelque peu abstrait, elle donne néanmoins une méthode de résolution effective de l'équation cyclotomique et en conséquence propose un mode de construction à la règle et au compas des polygones constructibles (cf l'article nombre constructible). Etudions le pentagone à cinq cotés.

A une isométrie directe près du plan euclidien, les sommets du pentagone régulier sont exactement les cinq racines cinquièmes de l'unité. Par identification, ils sont, hormis 1, les racines du cinquième polynôme cyclotomique, soit donc :

$\Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,$

Si l'équation correspondante est un polynôme du quatrième degré, elle est néanmoins résoluble avec une quantité de calcul faible. Le corps de décomposition, noté traditionnellement F₅, est (par oubli de structure) un espace vectoriel rationnel de dimension quatre. Son groupe de Galois G est le groupe cyclique d'ordre quatre. Il admet donc un générateur noté ici m et un sous-groupe non trivial H, contenant deux éléments, l'identité et m². L'application qui à tout élément de l'extension associe son conjugé est un automorphisme qui laisse F₅ stable, Q invariant et est d'ordre deux ; en conséquence m² est précisément l'application conjuguée. L'objectif est donc de trouver le sous-corps de F₅ de dimension deux sur Q, laissé stable par l'application conjuguée. Un jeu de permutation des racines permet alors de ramener la résolution de l'équation à trois équations simples du second degré.

Il est alors relativement simple d'obtenir une construction à la règle et au compas. Sur la figure illustrative, il est par exemple immédiat de remarquer que la longueur du segment BI est le quart de la racine carrée de cinq, le radical de la première extension.

Calcul

[modifier] Cas de l'heptadécagone

Figure à la règle et au compas: Heptadécagone, un polygone régulier de 17 cotés

Le nombre premier de Fermat suivant est dix-sept. Il correspond à l'heptadécagone, le polygone régulier à dix-sept cotés. Si la logique précédente s'applique avec le même succès, les calculs sont néanmoins plus complexes. Le polynôme à factoriser est maintenant de degré seize. En conséquence, ce cas n'a pas été traité avant une compréhension profonde des polynômes cyclotomiques. L'aspect calculatoire de la résolution du problème est indéniable, en rechange il relativement limité pour une équation de degré seize sans racine évidente ou multiple.

La méthode de résolution proposée ici suit pas à pas la démarche de la théorie de Galois. Ce groupe est le groupe cyclique d'ordre seize. Il contient donc trois sous-goupes non triviaux. H₁ est un sous-groupe à huit éléments, il contient les multiples de deux, H₂ contient les multiples de quatre et H₃ contient deux éléments le neutre et le multiple de huit, la même remarque que celle du paragraphe précédent montre que l'élément non neutre correspond à l'application conjugée. Les sous-corps associés forment une chaîne d'extensions strictement emboitée tel que la dimension d'un corps est deux sur le corps précédent.

$\mathbb{Q} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_1} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_2} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_3} \sub \mathbb{F}_{17}\;$

L'objectif est alors de trouver un générateur de chaque extension dans la précédente. La technique utilisé dite des périodes de Gauss est toujours la même. Explicitons la pour la première extension. Soit m² le générateur du premier groupe (on a choisi m générateur du groupe de Galois), Considérons la somme des huit composées successives de z la première racine primitive, et la somme des huit autres racines:

$u_1=\sum_{i=0}^7 m^{2i}(z)\quad et \quad u_2=\sum_{i=0}^7 m^{2i+1}(z)\;$

Alors ces deux éléments sont invariant par le générateur m². De plus, leur somme est égal à -1 car c'est la somme de toutes les racines primitives. Ils sont donc de la forme u₁ = a + b.r et u₂ = a - b.r où a et b sont des rationnels et r le radical générateur de l'extension, car nous sommes dans une extension quadratique. Leur produit est donc encore rationnel. On en déduit une équation du type P₁[X] = 0 avec P₁[X] un polynôme du deuxième degré.

Réitérer trois fois cette méthode donne alors la solution.

Calcul

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes

↑ Pierre-Laurent Wantzel, Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas, 1837
↑ Al-Khawarizmi, Abrégé du calcul par restauration et comparaison
↑ Gerolamo Cardano, Ars Magna, 1545.
↑ Joseph-Louis Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1770
↑ Paolo Ruffini, La théorie générale des équations dans laquelle il est démontré qu'il est impossible de donner les solutions générales des équations de degré strictement supérieur à 4, 1799
↑ Niels Henrik Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré, 1824.
↑ Evariste Galois, Manuscrit de Galois dans Journal des mathématiques pures et appliquées, 1846
↑ Heinrich Weber, Lecture en algèbre, 1895
↑ David Hilbert, La théorie des corps de nombres algébriques, 1897.
↑ Emil Artin, Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes, 1927
↑ Ferdinand Georg Frobenius, Sur le caractère du groupe Accadémie de Berlin 1896
↑ Leonard Dickson Linear Groups With an Exposition of the Galois Field Theory 1901

[modifier] Liens externes

(fr) polynôme cyclotomique à petite dose site homéomath.
(fr) polynôme cyclotomique niveau licence
(fr) polynôme cyclotomique par les mathématiques.net
(en) le site de Saint Andrew pour les références historiques

[modifier] Références

JP Escofier Théorie de Galois. Cours avec exercices corrigés Masson Paris, 1997
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]

Articles de mathématiques en rapport avec la Théorie de Galois

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