Série harmonique

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La série harmonique est une série de nombres réels qui est très naturelle et classique.

Elle fait partie de la famille plus large des séries de Riemann, qui permettent de déterminer la nature de nombreuses séries, par comparaison.

[modifier] Définition

Le terme général de la série harmonique est $\frac{1}{n}$ .

On note classiquement $H n$ la n-ième somme partielle de la série harmonique, qui est donc égale à $H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}$ .

[modifier] La série harmonique diverge

[modifier] Expérimentation

En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la suite de nombres obtenus est croissante et ne bouge pas très vite. On a même l'impression au bout d'un moment qu'elle est presque stationnaire.

On suspecte donc très fortement cette série d'être une série convergente.

Valeur de n	Valeur de H_n	Valeur de n	Valeur de H_n
1	1	11	3,019877345
2	1,5	12	3,103210678
3	1,833333333	13	3,180133755
4	2,083333333	14	3,251562327
5	2,283333333	15	3,318228993
6	2,45	16	3,380728993
7	2,592857143	17	3,439552523
8	2,717857143	18	3,495108078
9	2,828968254	19	3,547739657
10	2,928968254	20	3,597739657

[modifier] Réalité mathématique

En fait, la série harmonique diverge, elle tend vers $+\infty$ .

Valeur de n	Valeur de H_n
10	2,928968254
100	5,187377518
1 000	7,485470861
10 000	9,787606036
100 000	12,09014613
1 000 000	14,39272672

Dans le tableau ci-dessus, à chaque fois qu'on multiplie la valeur de n par 10, il semble qu'on rajoute une constante à H_n, de l'ordre de 2,3. Ce comportement apparent est de type logarithmique en n. C'est bien ce qu'on obtient on faisant une étude asymptotique plus poussée.

[modifier] Démonstration

On raisonne par l'absurde. Supposons que la suite $H n$ converge vers $l$ . Dans ce cas, on sait aussi que la suite extraite $H 2 n$ converge aussi vers $l$ . Par conséquent, la suite $H 2 n - H n$ converge vers $0$ .

Or, on a les inégalités suivantes :

$H_{2n}-H_{n} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geq \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$ .

On aboutit à une contradiction.

[modifier] Autres démonstrations

On peut comparer la série harmonique à une série télescopique bien choisie

$v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln (1+\frac1n)\sim \frac 1n$

Alors $v n$ est le terme général d'une série divergente, à termes positifs, donc par comparaison la série harmonique diverge elle aussi.

On peut aussi montrer le résultat à l'aide de la méthode de comparaison série-intégrale (c'est un peu ce qui est caché, d'ailleurs dans le choix « judicieux » de la série télescopique).

[modifier] Développement asymptotique de $H n$

Tous les termes du développement asymptotique peuvent s'obtenir par la méthode de comparaison série-intégrale.

[modifier] Équivalent de $H n$

En utilisant l'encadrement suivant, lié à la décroissance de la fonction inverse (t donne 1/t)

$\int_n^{n+1} \frac1t dt\leq \frac1n \leq \int_{n-1}^{n} \frac1t dt$

Et en sommant, on arrive à

$\int_1^{N+1}\frac1t dt \leq H_N \leq 1+ \int_1^{N}\frac1t dt$

Puis en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont tous deux équivalents à ln n : $H_N \sim \ln(N)$

[modifier] Second terme du développement asymptotique

De plus en continuant l'expérimentation avec sa calculatrice, l'on peut calculer les premier termes de la suite $\ (\ln (n)- H_n)$ . On peut alors s'apercevoir assez rapidement que cette série semble tendre vers une limite finie.

Cette fois nous ne nous sommes pas trompés : on peut prouver que cette suite admet effectivement une limite finie. On a donc la formule d'Euler

$\ H_n = \ln (n)+\gamma +o(1)$ ,

C'est-à-dire que la suite $\ H_n - \ln(n)$ tend vers une certaine limite $γ$ .

Cette valeur $γ$ a été baptisée constante d'Euler-Mascheroni. Voici les 25 premiers chiffres de son développement décimal $\gamma \simeq 0,5772156649015328606065120...$

Pour la démonstration de la formule d'Euler, et la généralisation à d'autres séries, voir l'article comparaison série-intégrale.

[modifier] Généralisation et terme général du développement asymptotique

La méthode est détaillée dans l'article comparaison série-intégrale ; les premiers termes du développement sont

$\sum_{k=1}^n \frac1k= \ln(n)+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+ O\left(\frac1{n^{12}}\right)$

[modifier] La série harmonique alternée

Le terme général de la série harmonique alternée est $\frac{(-1)^n}{n}$ . C'est donc une variante de la série harmonique. L'alternance des signes change tout puisque cette série converge. On peut se servir de l'étude effectuée avec la série harmonique pour déterminer la nature et la somme de la série harmonique alternée.

En séparant termes pairs et impairs dans le calcul des sommes partielles, et en appliquant la formule d'Euler précédente, on prouve que la série harmonique alternée converge et a pour somme

$-\ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n}+\cdots$

Démonstration détaillée : on décompose les sommes partielles d'ordre pair

$\sum_{n=1}^{2N} \frac1{n}=\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}+\sum_{p=0}^{N-1} \frac{1}{2p+1}$

$\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^n}{n}=\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}-\sum_{p=0}^{N-1} \frac{1}{2p+1} =2\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}-\sum_{n=1}^{2N} \frac1{n}=H_N-H_{2N}$

Une formule d'Euler pour chaque terme

$\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^n}{n}=\ln N+\gamma+o(1)-(\ln 2N+\gamma+o(1)) =-\ln 2+o(1)$

Pour conclure il faut encore signaler que si on prend une somme partielle d'ordre impair, elle a aussi pour limite - ln 2 (on ajoute en effet à la somme d'ordre pair précédente un terme qui tend vers 0).

Variante : on peut utiliser la théorie des séries entières en établissant la formule plus générale

$\forall x \in [-1,1[,\qquad -\ln (1-x)= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$

[modifier] Série harmonique et entier naturel

Pour tout n supérieur ou égal à 2, H_n n'est jamais entier.

L'argumentation s'appuie sur le postulat de Bertrand : pour tout entier k supérieur ou égal à 1, il existe un nombre premier p compris (au sens large) entre k+1 et 2k.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2, et soit k la partie entière de n/2. Il existe un nombre premier p compris entre k+1 et 2k. Ce nombre premier p est donc inférieur à n et son double est strictement supérieur à n. p ne divise alors aucun des entiers de 1 à n sauf lui-même.

Soit l'entier K vérifiant

$K = \frac{n!}{p} = \prod_{i=1, i \ne p}^n i$

D'après la remarque précédente, p ne divise aucun des entiers de 1 à n sauf lui-même, il ne divise donc pas leur produit, il ne divise donc pas K

On multiplie alors H_n par K :

$KH_n = \sum_{i=1, i \ne p}^n \frac Ki + \frac Kp$

Or pour tout i différent de p , K/i est entier donc la somme des K/i est un entier A, donc

$KH_n = A + \frac Kp$

A est un entier, K/p n'est pas entier donc KH_n n'est pas entier et H_n n'est pas entier.

[modifier] Voir aussi

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