Utilisateur:Salle/Trigo

En effet, soit g' un tel élément, d'ordre n dans G/<a>, et g un relevé dans G. Alors g est d'ordre mn dans G, donc mn divise l'exposant e du groupe G, pour un certain entier m. En particulier, gⁿ est dans <a>, et y est d'ordre m. On peut donc écrire gⁿ=a^k, on trouve km=el=mnfl pour certains entiers f et l, et donc gⁿ=a^fln. Le relevé cherché de g' sera alors ga^-fl.

On forme l'application :

du produit direct de H par le groupe cyclique C_n d'ordre l'ordre n de x dans G et G/H, à valeurs dans le sous-groupe de G engendré par H et x, et qui à (h,k) associe hx^k. C'est un morphisme de groupes, surjectif, et l'hypothèse sur l'ordre de x permet de vérifier qu'il est injectif.

On travaille par récurrence sur le nombre minimal n(G) de générateurs du groupe abélien de type fini G. Le théorème est évident pour n(G)=1, supposons-le montré pour n(G)<n, et considérons un groupe G tel que n(G)=n. Parmi toutes les familles génératrices à n éléments de G, choisissons-en une dont le minimum des ordres des générateurs est minimal. Notons x un générateur d'ordre minimal dans cette famille, on applique l'hypothèse de récurrence au sous-groupe H engendré par les n-1 autres générateurs, et on trouve une famille génératrice à n-1 éléments y_i de H tel que H est une somme directe des y_i. De, plus la famille des y_i à laquelle on adjoint x est encore génératrice de G.

Par hypothèse de minimalité, , pour tout i. On montre même qu'il y a divisibilité. En effet, supposons que p est un nombre premier tel que la plus grande puissance p^l divisant a=o(x) est strictement plus grand que la plus grande puissance p^m divisant l'un des b=o(y), pour y l'un des y_i ; notons a'=a/pⁿ, et b'=b/p^m. On peut alors vérifier qu'en remplaçant x par x'=x^pny^b' et y'=x^a'y^pm, on obtient encore une famille génératrice de G, avec o(x')<o(x), ce qui est une contradiction.

x est un générateur de G/H. Par le premier lemme, chaque projection de x dans <x,y_i>/<y_i> se scinde ; en mettant toutes les composantes ensemble, on voit par le second lemme que la projection de G sur G/H se scinde en une somme directe de H et de G/H, et on a fini.

On construit par récurrence une suite de sous-groupe H_i, de groupes quotient G_i, et d'éléments g_i tels que :

• H₀={1}
• G₀=G
• G_i=G/H_i
• H_i+1=H_i+<g_i+1>
• l'exposant e(G_i)=o(g_i+1) et divise l'ordre o(g_i)

Supposons, G_i, H_i et g_i construits. On considère dans G_i un élément d'ordre e(G_i). Par le lemme, on le relève dans G_i-1 en un élément de même ordre, qui divise donc l'exposant de G_i-1 et donc l'ordre de g_i, puis, par récurrence, en un élément g_i+1 dans G. Par le second lemme, H_i et le sous-groupe engendré par g_i+1 sont bien en somme directe dans G, et on définit H_i+1 comme cette somme directe, et G_i+1 comme le quotient de G par H_i+1

La suite de sous-groupes H_i croit strictement jusqu'à égaler G, et est à chaque étape somme directe de sous-groupes cycliques, d'où l' théorème.