Tenseur de courbure

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En géométrie différentielle, le tenseur de courbure de Riemann est la façon la plus courante d'exprimer la courbure des variétés riemanniennes, ou plus générale d'une variété disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion.

Soit deux géodésiques d'un espace courbe, parallèles au voisinage d'un point P. Dans un espace courbe, des géodésiques parallèles en un point ne vont pas forcément le rester en d'autres points de l'espace. Le tenseur de courbure de Riemann exprime l'évolution de ces géodésiques l'une par rapport à l'autre. Plus l'espace est courbe, plus les géodésiques vont se rapprocher ou s'éloigner rapidement.

[modifier] Définition

Le tenseur de courbure est formulé à l'aide d'une connexion de Levi-Civita (ou plus généralement d'une connexion affine) $\nabla$ (ou dérivée covariante) par la formule suivante :

Pour tout vecteur u, v et w de la variété :

$R(u,v)w =\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w .$

où $[\ ,\ ]$ est le crochet de Lie.

Ici $R (u, v)$ est une transformation linéaire selon chacun de ses arguments sur l'espace tangent de la variété.

NB : certains auteurs définissent le tenseur de courbure comme du signe opposé.

Si $u={\partial \over \partial x_i}$ et $v={\partial \over \partial x_j}$ sont des champs de vecteur de coordonnées, alors $[u, v] = 0$ et on peut ré-écrire la formule :

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w$

Le tenseur de courbure mesure alors la non-commutativité de la dérivée covariante.

La transformation linéaire $w\mapsto R(u,v)w$ est aussi appelée la tranformation de courbure ou endomorphisme.

En terme de coordonnées, cette équation peut être ré-écrite en utilisant les symboles de Christoffel :

${R^\sigma}_{\mu\nu\kappa} = {\partial{\Gamma^\sigma}_{\mu\nu} \over \partial x^\kappa} - {\partial{\Gamma^\sigma}_{\mu\kappa} \over \partial x^\nu} + {\Gamma^\lambda}_{\mu\nu}{\Gamma^\sigma}_{\kappa\lambda} - {\Gamma^\lambda}_{\mu\kappa}{\Gamma^\sigma}_{\nu\lambda}$

[modifier] Symétries et identités

Le tenseur de courbure de Riemann a les symétries suivantes :

$R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}$

$\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}$

$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}$

La dernière identité a été découverte par Ricci, mais est souvent nommé première identité de Bianchi ou identité algébrique de Bianchi.

Ces trois identités forment une liste complète des symétries de tenseur de courbure, c'est-à-dire qu'étant donné un tenseur respectant les identités ci-dessus, on peut trouver une variété de Riemann disposant d'un tel tenseur de courbure en un point. De simples calculs mathématiques montrent qu'un tel tenseur a $n 2 (n 2 - 1) / 12$ composants indépendants.

Il est possible de déduire une autre identité utile à partir de ces trois équations :

$\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}$

L'identité de Bianchi (souvent apppelée seconde identité de Bianchi ou identité différentielle de Bianchi) implique les dérivées covariantes :

$\nabla_uR(v,w)+\nabla_vR(w,u)+\nabla_w R(u,v) = 0$

Étant donné un référentiel donné en un point d'une variété, les identités précédentes peuvent être écrites en terme des composants du tenseur de Riemann comme :

$R_{abcd}^{}=-R_{bacd}=-R_{abdc}$

$R_{abcd}^{}=R_{cdab}$

$6R_{a[bcd]}^{}=0$ (première identité de Bianchi)

$6R_{ab[cd;e]}^{}=0$ (seconde identité de Bianchi)

où les crochets correspondent au crochet de Lie, qualifiant les symétrisations selon les indices, et le point-virgule représente la dérivée covariante.

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../t/e/n/Tenseur_de_courbure.html »

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