Théorème du rang

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En mathématiques, le théorème du rang de l'algèbre linéaire, lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie. Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un corps $K$ . On suppose $E$ de dimension finie. Soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$ une application linéaire. Alors l'image de $f$ est de dimension finie et

${\rm rg } f+{\rm dim Ker }f={\rm dim }E\,$ ,

où $rg f$ désigne la dimension de l'image de $f$ .

Pour démontrer le théorème, on peut partir d'une base du noyau de $f$ , et la compléter en une base de $E$ . Il n'est alors pas difficile de montrer que $f$ envoie bijectivement cette famille de vecteurs « nouvellement » ajoutés sur une base de l'image de $f$ .

Cas particulier des endomorphismes:

Soit $f$ une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$ dans lui-même. On a la relation:

${\rm dim Im }f+{\rm dim Ker }f={\rm rg}(f)+{\rm dim Ker }f=\dim E\,$ .

Cas des matrices

Le théorème du rang peut s'écrire pour les matrices. Si $A$ est une matrice $(m, n)$ sur un corps $\mathbb{K}$ , alors

rg A + dim(Ker U) = n

où $U$ est l'application linéaire de $\mathbb{K}^n\rightarrow \mathbb{K}^m$ canoniquement associée à la matrice $A$ .

Certains définissent le noyau d'une matrice comme étant l'ensemble noté $Ker A$ égal à

$\{X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})/AX=0\}$ ,

qui est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ de même dimension que $Ker U$ .

Le théorème du rang s'écrit alors

rg A + dim(Ker A) = n

[modifier] Autres formulations et généralisations

Ce théorème est une forme du premier théorème d'isomorphisme de l'algèbre dans le cas des espaces vectoriels.

Dans un langage plus moderne, le théorème peut être énoncé de la manière suivante: si

$0 \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow 0$

est une courte suite exacte d'espaces vectoriels, alors

dim(D) + dim(F) = dim(E)

Ici $F$ joue le rôle de $Im f$ et $D$ celui de $Ker f$ .

En dimension finie, cette formulation peut être généralisée : si

$0 \rightarrow E_1 \rightarrow E_2 \rightarrow \cdots \rightarrow E_r \rightarrow 0$

est une suite exacte d'espaces vectoriels de dimension dinie, alors

$\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(E_i) = 0.$

Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie peut aussi être formulé en termes d'indice d'application linéaire. L'indice d'une application linéaire $f:E\rightarrow F$ , où $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels de dimension finie, est défini par

indice f = dim(Ker f) - dim(Coker f)

où Coker désigne le conoyau de

f

Intuitivement, $Ker f$ est le nombre de solutions indépendantes $x$ de l'équation $f (x) = 0$ , et $dim(Coker f)$ est le nombre de restrictions indépendantes qui doivent être mises à la place de $y$ pour rendre l'équation $f (x) = y$ résoluble. Le théorème du rang pour des espaces vectoriels de dimension finie est équivalent à la proposition

indice f = dim(E) - dim(F)

Nous voyons que nous pouvons facilement déterminer l'indice d'une application linéaire $f$ à partir des espaces impliqués, sans nul besoin d'étudier $f$ en détail. Cela se remarque également dans un résultat beaucoup plus profond: le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer qui affirme que l'indice de certains opérateurs différentiels peut être obtenu à partir de la géométrie des espaces impliqués.

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