Théorie des nœuds
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La théorie des nœuds est un branche de la topologie qui consiste en l'étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés. La théorie des nœuds est donc très proche de la théorie des tresses.
Plus formellement, on considère les plongements du cercle S1 dans l'espace euclidien ℝ³ de dimension 3. Un nœud est un tel plongement considéré à déformation (ou isotopie) près. Il s'agit donc plutôt ici de ficelles sans bouts que de nœuds au sens habituel.
Le problème principal est de déterminer si deux plongements différents sont en fait le même nœud. Pour cela, il convient de construire des invariants des nœuds, qui sont des fonctions sur l'ensemble des plongements qui ne dépendent que du nœud. Une fois défini un invariant, il faudra encore chercher à savoir dans quelle mesure il prend des valeurs différentes sur des nœuds différents.
La théorie des nœuds a une longue histoire. On peut peut-être la faire commencer avec des travaux de Gauss liés à l'électromagnétisme.
Parmi les principaux invariants des nœuds, citons le polynôme de Jones, le polynôme d'Alexander, le polynôme HOMFLY, le groupe fondamental du complémentaire du nœud, les invariants de type fini de Vassiliev et l'intégrale de Kontsevich.
Parmi les derniers invariants introduits, il y a notamment des groupes d'homologie de nœuds définis par Khovanov.
La théorie des nœuds est toujours en plein développement.
[modifier] Bibliographie
Alexei Sossinsky - Nœuds, Genèse d'une théorie mathématique, éditions du Seuil, Paris (1999) ISBN 2020320894
[modifier] Liens externes
- (en) Visualisation et simulation.
- (en) Un wiki sur la théorie des nœuds
- (en) Journal of Knot Theory and Its Ramifications (JKTR)
- (fr) Dessiner de beaux entrelacs
- La théorie du nœud esquissée par J. Lacan
- Remarques sur les différents styles de représentation du nœud
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