השיטה העשרונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שיטות ספירה
ספרות ערביות: ספרות ערביות מערביות ספרות ערביות מזרחיות ארמניות \| בבליות \| ברהאמיניות \| אטרוסקיות \| עבריות \| חמר \| יווניות \| יווניות אטיקות \| יפניות \| מאיה \| מצריות \| סיניות \| קוראניות \| קיריליות \| רומיות
בסיס
בסיס 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 20, 24, 26, 27, 30, 32, 36, 60, 64

השיטה העשרונית היא שיטה להצגת מספרים (שלמים או ממשיים), לפי בסיס 10, כך שביטוי כדוגמת $\ 61.3$ מתפרסם בתור סכום $\ 6\cdot 10+1+3\cdot \frac{1}{10}$ . בשיטה זו, שהחליפה את הכתיבה בספרות רומיות, משתמשים בחיי היום-יום, והיא מקובלת כיום בכל העולם.

[עריכה] היסטוריה

השיטה פותחה במקור בהודו במאה ה-6. הערבים הביאו אותה למערב במאה ה-8 בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי בשנת 825, שבו סקר את הספרות ההודיות והמליצה לקוראים, אך הטמעתה התעכבה בכמאתיים שנה, בין השאר עקב הרצון למנוע זיופי מסמכים בספרות 0, 6, 9, 3, 8. היא זו שמשמשת אותנו גם בחיי היום-יום. ספירה זו טבעית כל כך, מאחר ולאדם יש עשר אצבעות.

ספירה תוך שימוש בעשרות, מאות ואלפים התקיימה עוד קודם לכן. כבר בתנ"ך הספירה היא כזו (לדוגמה: "שבע ועשרים ומאה"), וכך גם בספרות הרומיות. החידוש שהביא אל ח'ואריזמי הוא שימוש בבסיס לשיטת הספירה, כלומר רישום המספרים כך שיש משמעות למיקום של הספרה במספר.

[עריכה] הצגה עשרונית של מספרים

הספרות 0 עד 9 מסמנות מספרים טבעיים עוקבים: 0 הוא מספר האיברים בקבוצה ריקה, 1 היא היחידה, 2=1+1, 3=2+1, וכן הלאה, עד 9=8+1. מספרים גדולים מ- 9 מוצגים כרצף של ספרות, אותו מבינים כסכום של חזקות של המספר 10 (השווה ל- 9+1), המוכפלות כל-אחת בספרה המתאימה. לדוגמה, $\ 23 = 2\cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 = 2\cdot 10 + 3\cdot 1$ . לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה באופן כזה, והקשר בין ההצגה לבין המספר הוא יסודי כל-כך, עד שדרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להבדיל ביניהם.

כאשר נדרשים להצגת מספרים לא שלמים, אין די בחזקות החיוביות של המספר 10, ויש צורך לסכם גם בחזקות השליליות (למשל, $\ 10^{-1}=\tfrac{1}{10}$ , $\ 10^{-2}=\tfrac{1}{10^2}$ ), המופרדות מן החזקות החיוביות בנקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו $\ 2\cdot 10+5\cdot 1+3\cdot \tfrac{1}{10}$ . את אותו מספר אפשר להציג גם כ- 25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה.

בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי רק את המספרים השווים למנה $\ \frac{a}{10^n}$ בין מספר טבעי a לבין חזקה של 10. מספרים רבים, וביניהם מספרים רציונליים רבים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). בדיוק כפי שרצף ספרות סופי $\ 0.a_1a_2\dots a_n$ מובן כסכום $\ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}$ , שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי $\ 0.a_1a_2\dots a_n \dots$ כסכום אינסופי, $\ \frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}+\dots$ .

מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x. עובדה זו אינה מובנת מאליה, והיא נובעת מן הארכימדיות של שדה המספרים הממשיים. כמעט לכל מספר ממשי יש פיתוח עשרוני אחד ויחיד. יוצאי הדופן הם המספרים הרציונליים שיש להם פיתוח עשרוני סופי - למספר כזה יש גם פיתוח אינסופי, המתקבל מהחלפת הספרה האחרונה בפיתוח, נאמר a, בספרה a-1, שאחריה רצף אינסופי של תשיעיות.

[עריכה] טבלת המרה בין בסיסי מספרים נפוצים

עשרוני:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
הקסדצימלי:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
בינארי:	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000