מספרים חברותיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, מספרים חברותיים הם שרשראות של מספרים שכל אחד מהם הוא סכום מחלקיו של המספר שלפניו (כאשר 1 נחשב למחלק, אך כל מספר אינו נחשב למחלק של עצמו), והראשון של האחרון.

שרשראות מסדר (כלומר בגודל) 2 נקראות מספרים ידידותיים, ושרשראות מסדר 1 נקראות מספרים משוכללים. מספרים אלו הם מקרים פרטיים של מספרים חברותיים. גם מספרים ידידותיים וגם מספרים משוכללים היו כבר ידועים למתמטיקאים היוונים.

שרשראות מסדר הגדול מ-2 נתגלו לראשונה בשנת 1918, האחת מסדר 5:

14288, 15472, 14536, 14264, 12496

והשנייה מסדר 28:
14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716

שרשרת מסדר 4 נתגלתה לראשונה רק בשנת 1969, אולם דווקא שרשראות כאלו נתגלו מאז בכמות גדולה יותר מאשר כל סדר אחר הגדול מ-2.

כיום (נובמבר 2006), כאשר מתמטיקאים סורקים את המספרים בעזרת מחשבים בנסיון לגלות שרשראות כאלו, ידועות כבר שרשראות מהסדרים הבאים:

סדר	1	2	4	5	6	8	9	28
כמות	44	11,446,960	140	1	5	2	1	1

גילויים אלו, והעובדה שנתגלו שרשראות רבות מסדר 2 ו-4 אך אפילו לא אחת מסדר 3, מעלים תהיות שעדיין לא נפתרו: האם ישנן שרשראות כאלו בכל סדר שהוא, או שעבור סדרים מסוימים אין אף שרשרת? וגם להיפך, האם לכל הסדרים או לפחות עבור סדרים מסוימים, ישנן אינסוף שרשראות כאלו?

השאלה אם ישנם אינסוף מספרי מרסן הגוררים את קיומם של אינסוף מספרים משוכללים היא מקרה פרטי של הבעיה הקודמת.