Eloszlásfüggvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn értelmezett X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő összefüggéssel definiált függvény:

$F: \bold R \rightarrow \bold R, \quad \quad F(x):= \bold P (X<x).$

Az eloszlásfüggvény tehát minden x valós számhoz annak a valószínűségét rendeli, hogy a valószínűségi változó ennél kisebb értéket vesz fel.

Az eloszlásfüggvény segítségével lehet sok alapvető jelentőségű valószínűség-számítási fogalmat definiálni, például a sűrűségfüggvényt és a várható értéket. Az eloszlásfüggény segítségével lehet definiálni a valószínűségi változók egyik legfontosabb osztáját a folytonos valószínűségi változók osztályát is.

[szerkesztés] Az eloszlásfüggvény tulajdonságai

Az eloszlásfüggvény egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását és viszont.
Szemben a valószínűségi változókat jellemző többi függvénnyel (sűrűségfüggvény, karakterisztikus függvény, generátorfüggvény) eloszlásfüggénye minden valószínűségi változónak van.
Bármely F(x) eloszlásfüggényre teljesül, hogy

(a) monoton nem csökkenő

(b) balról folytonos

Megmutatható, hogy az állítás fordítottja is igaz: az F(x) függvény pontosan akkor eloszlásfüggénye valamely valószínűségi változónak, ha a fenti három tulajdonság egyidejűleg teljesül rá.

[szerkesztés] Mértékelméleti általánosítás

Létezik az eloszlásfüggvénynek egy általánosabb, mértékelméleti definíciója is. Ez a következő: legyen μ véges mérték egy A halmazon, valamint g egy olyan μ-mérhető függvény, melynek értelmezési tartománya a teljes A halmaz (eltekintve esetleg az A egy μ-vel mérve 0 mértékű részhalmazától) és Rⁿ beli értékeket vesz fel. Ekkor a g eloszlásfüggvénye a

$F: \bold R^n \rightarrow \bold R, \quad \quad F(\bold a):=\mu(\{x\in X:g(x)<\bold a\}) \quad \forall \, \bold a \in \bold R^n$

összefüggéssel definiált függvény. A valószínűség-számítás eloszlásfüggvénye esetében a μ szerepében a P valószínűségi mérték áll – ami a definíciója miatt véges – az A halmazt az Ω eseménytér adja, g helyén pedig az X valószínűségi változó áll – ami szintén definícióból adódóan az egész Ω-n értelmezett.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Normáleloszlás táblázat

[szerkesztés] Források

Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
Járai A. (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../e/l/o/Eloszl%C3%A1sf%C3%BCggv%C3%A9ny.html"

Kategóriák: Valószínűség-számítás | Mértékelmélet