Hatványhalmaz

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ha H halmaz, akkor $\mathcal{P}(H)$ -val jelöljük és a H halmaz hatványhalmazának nevezzük a H összes részhalmazainak halmazát.

Jelben: $\mathcal{P}(H):=\{x \mid x \subseteq H\}$ ahol a $\subseteq$ szimbólum a részhalmaz-reláció jele.

Tartalomjegyzék

1 Példa
2 Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai
3 Tételek a hatványhalmazról
4 Történeti adalékok
5 Felhasznált irodalom
- 5.1 Bourbaki halmazelméletéről

[szerkesztés] Példa

Ha H az {a,b,c} háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:

nulla elemű részhalmaza az üres halmaz (jelben: {}, vagy $\emptyset$ )
egyelemű részhalmazai az {a}, a {b} és a {c}
kételemű részhalmazai: {a,b}, {a,c}, és {b,c}
egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga: {a,b,c}

Tehát $\mathcal{P}(H)=\big\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\big\}$

[szerkesztés] Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai

Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a $x\subseteq H$ kijelentésből képezett $\{x\mid x\subseteq H\}$ halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz axiómának nevezzük.

[szerkesztés] Zermelo-Fraenkel axiómarendszer

ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz axiómának nevezzük a következő formulát: $(\forall x)(\exists y)(\forall z)((z\in y)\Leftrightarrow(z\subseteq x))$

ahol $z\subseteq x$ jelöli az $(\forall u)((u\in z)\Rightarrow (u\in x))$ formulát.

[szerkesztés] Neumann-Bernays-Gödel halmazelmélet

Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az $(\exists y)(H\in y)$ formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: "H halmaz ". Rövidítsük az $\{x|x\subseteq H\}$ -t $\mathcal{P}(H)$ -val. Ekkor a hatványhalmaz axióma a következő formula:

$(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x)))$

[szerkesztés] Bourbaki-halmazelmélet

A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén $\mathcal{C}oll_x(A)$ jelöli az $(\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x))$ formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha $\mathcal{C}oll_x(A)$ tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz axióma ekkor a következő formula:

$(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))$

ahol $y\subseteq x$ jelöli az $(\forall u)((u\in y)\Rightarrow (u\in x))$ formulát.

[szerkesztés] Tételek a hatványhalmazról

Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága $| \mathcal{P}(H) | = 2^n$ .

Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló $2^H:=\mathcal{P}(H)$ hatványozásra utaló félrevezető jelölést (ui.

| 2 H | = 2 | H |

, ahol a baloldali „hatványozás” egy jelölés, míg a jobboldali egy művelet).

Tétel – (Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén $\mathcal{P}(H)$ számossága nagyobb H számosságánál.

Jelben: $| \mathcal{P}(H) | > |H|$ .

Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: $|\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |\mathbb{R}|$ .

Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.

Állítás – Ha H halmaz, akkor a

$(\mathcal{P}(H),\cup)$ és $(\mathcal{P}(H),\cap)$ (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
$\mathcal{P}(H)$ a $\cup$ -val és $\cap$ -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
$\mathcal{P}(H)$ a $\subseteq$ relációval ellátva Boole-hálót alkot.

Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a $\mathcal{P}(H)$ hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt $σ$ -algebra (szigma-algebra).

[szerkesztés] Történeti adalékok

Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra $H\in U$ . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: $|U|<|\mathcal{P}(U)|\leq |U|$ , ami ellentmondás.

Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a $\mathcal{P}(U)$ összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.

[szerkesztés] Felhasznált irodalom

[szerkesztés] Bourbaki halmazelméletéről

Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.

(A matematika logikai megalapozása Bourbaki-szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

Kristóf János, Az analízis elemei. I., ELTE jegyzet, 1996.

(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki-szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)

Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
Cikk a Bourbaki-csoportról

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../h/a/t/Hatv%C3%A1nyhalmaz.html"

Kategória: Halmazelmélet