Konvergencia

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát. További részleteket a cikk vitalapján találhatsz.
Az ezen a lapon látható jelölés 2005 novemberéből származik.

Monoton növekvő, felülről korlátos számsorozat, egy jellegzetes konvergens sorozat (10-(10/n))

Az konvergencia az matematikai analízis régi, központi fogalma. Maga a szó latin elemekből épül fel: com- 'együtt' + vergere 'hajlít', tulajdonképpeni jelentése összehajlás, összetartás.

Elemek egy (a_n) sorozatának konvergenciáján lényegében azt értjük, hogy a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek egy értékhez, oly mértékben, hogy úgy tekinthetjük mintha az $n\to \infty$ határesetben végtelen kis távolságra megközelítenék azt. A matematikai analízis egyik legfontosabb feladata, hogy a "végtelen közeli" kifejezésnek pontos és konzisztens értelmet adjon és ezzel a határérték fogalmát matematikai eszközökkel megragadhatóvá, kezelhetővé tegye.

Attól függően, hogy milyen matematikai objektumok sorozata esetén beszélünk konvergenciáról, kissé eltér egymástól a

számsorozat,
normált térbeli vektorsorozat,
metrikus térbeli pontsorozat
topologikus pontsorozat, illetve a
függvénysorozat

konvergenciájának definíciója.

Általános intuitív definíció: az (a_n) sorozat konvergens és az a elemhez konvergál, ha az a elem akármilyen kicsi környezetét is vesszük, a sorozat vége, tehát egy küszöbindextől elkezdve a sorozat minden eleme benne van ebben a kicsi környezetben.

Tartalomjegyzék

1 Számsorozat konvergenciája
2 Valós számsorozatok konvergenciája
3 Valós szám-n-esek sorozatának konvergenciája
4 Komplex számsorozatok konvergenciája
5 Konvergencia metrikus téren
6 Konvergencia topologikus téren
7 Példák
8 Megjegyzések, Tételek

[szerkesztés] Számsorozat konvergenciája

$K$ számtest

$a_n \in K, n \in \mathbb{N}$ mely szerint $a \$ tehát $K \$ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

$\exist {\alpha \in K } \ \forall {\epsilon > 0} \ \exist n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \in \mathbb{N} :( n > n_0 \Rightarrow \mid a_n - \alpha \mid < \epsilon)$

akkor a sorozat konvergens, határértéke $\alpha \$ tehát:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$

[szerkesztés] Valós számsorozatok konvergenciája

A (x_n) valós számsorozat konvergens, ha létezik olyan x valós szám, hogy minden $ε > 0$ (valós) számhoz található olyan $n_0 \in \mathbb{N}$ küszöbszám, hogy ha $n > n 0$ , akkor $| x n - x | < ε$ . Ekkor ezt az x értéket a sorozat határértékének hívjuk.

[szerkesztés] Valós szám-n-esek sorozatának konvergenciája

[szerkesztés] Komplex számsorozatok konvergenciája

A (z_n) komplex számsorozat konvergens, ha létezik olyan z komplex szám, hogy minden $ε > 0$ (valós) számhoz található olyan $n_0 \in \mathbb{N}$ küszöbszám, hogy ha $n > n 0$ , akkor $| z n - z | < ε$ . Ekkor ezt a z értéket a sorozat határértékének hívjuk. Egy komplex számsorozat konvergen pontosan akkor, ha az elemek valós, illetve képzetes részéből vett valós számsorozat külön-külön konvergens.

[szerkesztés] Konvergencia metrikus téren

Legyen (X, d) egy metrikus tér. Az $x_n \in X$ sorozat konvergens, ha létezik olyan $x \in X$ elem, hogy minden $ε > 0$ számhoz található olyan $n_0 \in \mathbb{N}$ küszöbszám, hogy ha $n > n 0$ , akkor $d(x_n,\ x){< \epsilon}$ .

[szerkesztés] Konvergencia topologikus téren

[szerkesztés] Példák

${ n \in \mathbb{N} },{ a_n \in \mathbb{R} }$

$a_n = {1 \over n}$

ennek a sorozatnak a határértéke 0.

$a_n = {n \over n+1}$

ennek a sorozatnak a határértéke 1.

$a_n = \left({n+1 \over n}\right)^n$

ennek a sorozatnak a határértéke $e$ (Euler után, közelítőleg 2,71828).

[szerkesztés] Megjegyzések, Tételek

Konvergens sorozatok összege, szorzata, skalárszorosa, (ha a nevezőben lévő sorozat nem 0-hoz tart akkor) hányadosa is konvergens, és a határérték megegyezik a határértékek összegével, szorzatával, skalárszorosával, hányadosával.

Ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük.

Ha a definíció alapján szeretnénk belátni, hogy egy sorozat konvergens, meg kell sejtenünk a határértékét. Ha ez nem lehetséges, akkor használhatjuk a Cauchy-sorozat definícióját, ami a valós számokon ekvivalens a konvergenciával.

Ha egy sorozat korlátos és monoton akkor konvergens.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../k/o/n/Konvergencia.html"

Kategóriák: Az összes lektorálandó lap | Lektorálandó lapok 2005 novemberéből | Analízis