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Möbius-féle megfordítási formula - Wikipédia

Möbius-féle megfordítási formula

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Möbius-féle megfordítási formula a matematikában, ezen belül a számelméletben a Möbius-függvény egyik lefontosabb tulajdonságát kimondó képlet. A klasszikus formulát a 19. században alkotta meg August Ferdinand Möbius.

[szerkesztés] Az állítás

Legyen f(n) számelméleti függvény. Definiáljuk a g(n) számelméleti függvényt a

g(n) = ∑ f(d)
d | n

képlettel. Ekkor minden n-re

f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right)

teljesül.


[szerkesztés] Bizonyítása

Felhasználjuk a

\sum_{d | n} \mu(d) = \delta(n)=\left\{\begin{matrix}1&\mbox{ ha } n=1\\ 0&\mbox{ ha } n>1\end{matrix}\right.

tulajdonságot.

Eszerint

\sum_{d|n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right)=
\sum_{d|n}\mu(d) \sum_{d'|\frac{n}{d}} f(d')=\sum_{d'|n}f(d')\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)=
\sum_{d'|n}f(d')\delta\left(\frac{n}{d'}\right)=f(n).
A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../m/%C3%B6/b/M%C3%B6bius-f%C3%A9le_megford%C3%ADt%C3%A1si_formula.html"

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