Möbius-függvény

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Möbius-függvény egy multiplikatív számelméleti függvény, jelölése: $\!\,\mu(n)$ .

Fontos szerepet játszik a számelméletben és a kombinatorikában. Nevét August Ferdinand Möbius német matematikusról kapta, aki 1831-ben definiálta.

[szerkesztés] Definíció

μ(n) minden pozitív egészre definiálva van, értéke a ${ - 1,0,1}$ halmazból kerül ki. A függvény értéke n prímfelbontásától függ az alábbi módon:

μ(n) = 1 ha n négyzetmentes, és a prímtényezők száma páros.
μ(n) = −1 ha n négyzetmentes, és a prímtényezők száma páratlan.
μ(n) = 0 ha n nem négyzetmentes.

Megegyezés szerint μ(1) = 1.

Négyzetmentesnek nevezünk egy számot, ha a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője 1, vagyis a szám nem osztható négyzetszámmal.

Az alábbi kép az első 50 pozitív egész esetén mutatja a függvény grafikonját:

[szerkesztés] Tulajdonságok, felhasználása

A Möbius-függvény multiplikatív (tehát μ(ab) = μ(a) μ(b), ha a és b relatív prímek). Egy szám pozitív osztói Möbius-függvényértékeinek összege nulla, kivéve az n = 1 esetet:

$\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ ha } n=1\\ 0&\mbox{ ha } n>1\end{matrix}\right.$

(Ennek az egyik következménye, hogy minden nemüres véges halmaznak ugyanannyi páros számú elemet tartalmazó részhalmaza van, mint páratlan számú elemet tartalmazó.) Ez elvezet a Möbius-féle megfordítási formulához (Möbius-féle inverziós formula), és a fő oka annak, hogy μ szerepet kap a multiplikatív és aritmetikai függvények elméletében.

A μ(n) függvényt a kombinatorikában a Pólya-féle formulával összefüggésben használják.

A számelméletben egy kapcsolódó aritmetikai függvény a Mertens-függvény:

$M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k)$ ,