Dominio (matematica)

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In matematica il dominio di una funzione è l'insieme su cui la funzione è definita, mentre il codominio è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

Indice

1 Ha senso determinare il dominio?
- 1.1 Problema mal posto in generale
- 1.2 Convenzione per particolari funzioni reali
2 Distinzione tra codominio e immagine
3 Voci correlate

[modifica] Ha senso determinare il dominio?

[modifica] Problema mal posto in generale

Il dato di una funzione $f\;$ , che si scrive come $f:X \to Y\;$ , comprende quindi sia il dominio che il codominio: quindi a rigore il problema di "determinare il dominio di una funzione", spesso presente negli esercizi delle scuole superiori, è mal posto, perché il dato di una funzione contiene già dominio e codominio. Sarebbe perciò più appropriato parlare di determinazione dell'insieme di definizione.

[modifica] Convenzione per particolari funzioni reali

Per approfondire, vedi la voce insieme di definizione.

Nella pratica, se $X\;$ e $Y\;$ sono sottoinsiemi dei numeri reali e la funzione $f\;$ è esprimibile tramite composizione, somme e prodotti di funzioni elementari quali ad esempio polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, etc., il dominio $X\;$ è spesso implicitamente definito come il sottoinsieme più grande della retta reale su cui la $f\;$ ha senso, ossia come il suo insieme di definizione, ma possono presentarsi casi in cui essi siano distinti: ad esempio, la funzione $f (x) = x 2$ avrebbe come insieme di definizione naturale l'intera retta reale, ma se la si scrive come $f(x)= x^2:\R^+ \rightarrow \R$ allora si vuole evidenziare che il dominio preso in esame al momento è solo l'insieme dei reali positivi, un sottoinsieme proprio di R.

Considerazioni del genere sono solite nel valutare proprietà delle funzioni: ad esempio, proprio la funzione $f (x) = x 2$ , considerata in $R +$ è iniettiva, mentre in tutto R non lo è.

[modifica] Distinzione tra codominio e immagine

Mentre l'identificazione del dominio è basilare per valutare una funzione, lo stesso non si può dire del codominio. Infatti, se $f$ prende valori in un certo insieme $Y$ , allora si può certamente dire che essa prende valori anche in un qualsiasi insieme $Y' \supseteq Y$ : le funzioni $f:X \to Y$ e $f:X \to Y'$ non sono, seguendo uno stretto formalismo, la stessa funzione (in quanto il codominio è parte integrante della definizione di una funzione), ma a meno di situazioni veramente speciali e particolari esse sono de facto considerate coincidenti.

Inoltre, se $f$ è definita da $X$ a $Y$ , non vuol dire necessariamente che $f$ prenda valori in tutto $Y$ (ciò infatti accade, per definizione, se $f$ è funzione suriettiva). Da ciò si è sentito il dovere di isolare e denotare con un simbolo speciale il sottoinsieme di $Y$ che raggruppa le immagini di $X$ attraverso $f$ . Tale insieme è detto immagine di $f$ . C'è da dire che in alcune testi però si trova il termine codominio usato con il significato che qua viene dato di immagine e al posto di codominio si usa insieme di arrivo di $f$ .