Kettingregel

Van Wikipedia

De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. De meeste functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden gekend zijn.

Als een functie f te schrijven is als f(x) = g(h(x)), en de afgeleiden van de functies g en h zijn bekend, dan is:

$\frac{}{}f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$ , of eleganter in een meer gebruikte notatie:

$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dh} \frac{dh}{dx}$

Inhoud

1 Bewijs
- 1.1 Bewijs
- 1.2 Visueel bewijs
2 Toepassing van de kettingregel
- 2.1 Afgeleide samengestelde functies
- 2.2 Afgeleide inverse functies
3 Meer dan één veranderlijke

[bewerk] Bewijs

$(g \circ h)'(x) ~ = \lim_{x_0 \rightarrow x} {(g \circ h)(x) - (g \circ h)(x_0) \over x - x_0}$

$= \lim_{x_0 \rightarrow x} {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over x - x_0}$

$= \lim_{x_0 \rightarrow x} \left [ {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over h(x) - h(x_0)} \cdot {h(x) - h(x_0) \over x - x_0}\right ]$

$= \lim_{x_0 \rightarrow x} {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over h(x) - h(x_0)} \cdot \lim_{x_0 \rightarrow x} {h(x) - h(x_0) \over x - x_0}$

$=g'(h(x)) \cdot h'(x)$

[bewerk] Visueel bewijs

Nemen we de functie u(v(x)), we willen de afgeleide van u naar x bepalen. We doen dit door de limiet van de verhouding ${\Delta u \over \Delta x}$ te nemen. De snelheid waarmee de 'inwendige' functie v verandert als x verandert is de afgeleide van v (figuur: rechtsonder); soortgelijk is de snelheid van verandering van u de afgeleide van u (figuur: rechtsboven).

In de driehoek linksboven, de afgeleide van de samengestelde functie, geldt:

${\Delta u \over \Delta x} = {\Delta u \over \Delta v} \cdot {\Delta v \over \Delta x}$

Nemen we de limiet voor Δx naar 0, gaan ook Δu en Δv naar nul, er volgt:

$f ' ( x ) = \frac{\mathrm du}{\mathrm dv} \cdot \frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}$

[bewerk] Toepassing van de kettingregel

[bewerk] Afgeleide samengestelde functies

Eenvoudig voorbeeld

Stel men wenst de afgeleide te bepalen van de functie f(x) = sin(x²)
We kunnen f(x) schrijven als g(h(x)) waarbij g(x) = sin(x) en h(x) = x².
Toepassen van de kettingregel levert dan:

$f'\left( x \right) = g'\left( {h\left( x \right)} \right) \cdot h'\left( x \right) = \cos{x^2 } \cdot 2x$

Ingewikkelder voorbeeld

De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee verschillende functies zijn samengesteld. Stel we hebben de volgende functie:

f (x) = s i n (e c o s (2 x))

Het is mogelijk bovenstaande functie te ontleden in een ketting van functies:

a(x) = 2x

b(a) = cos(a)

c(b) = e^b

f(c) = sin(c)

Dankzij de kettingregel kunnen we nu van elke afzonderlijke schakel in de ketting de afgeleide nemen:

a(x) = 2x	a'(x) = 2
b(a) = cos(a)	b'(a) = -sin(a)
c(b) = e^b	c'(b) = e^b
f(c) = sin(c)	f'(c) = cos(c)

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is dan het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels:

$f'(x)=a'(x) \cdot b'(a) \cdot c'(b) \cdot f'(c)$

$f'(x)=2 \cdot (-sin(a)) \cdot e^b \cdot cos(c)$

$f'(x)=-2 \cdot sin(2x) \cdot e^{cos(2x)} \cdot cos(e^{cos(2x)})$

[bewerk] Afgeleide inverse functies

Onderstel g(x) de inverse functie van f(x), zodat f(g(x)) = x, dan is de afgeleide van f(g(x)) gelijk aan

$\! (f(g(x))'=f'(g(x)) g'(x)=1$ ,

wegens het feit dat f(g(x)) = x, zodat de afgeleide van het linkerlid gelijk is aan de afgeleide van het rechterlid: 1.

Op die manier kunnen we de afgeleide van g (met behulp van de afgeleide van f) bepalen:

$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$ .

Dit kunnen we gebruiken om bijvoorbeeld de afgeleide van de boogsinus te bepalen:

$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sin'(\arcsin(x))}=\frac{1}{\cos(arcsin(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-sin^2(arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

[bewerk] Meer dan één veranderlijke

Stel dat $f$ , $g$ en $h$ vectorwaardige functies zijn in meer dan één veranderlijke, bijvoorbeeld

$h:D\subset\mathbb{R}^m\to E\subset\mathbb{R}^n,\ g:E\to \mathbb{R}^p,\ f=g\circ h:D\to\mathbb{R}^p$

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies $h$ en $g$ in de juiste punten differentieerbaar zijn, dan zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

$h'(x):\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,\ g'(h(x)):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval dat $f$ nog steeds differentieerbaar is in $x$ , en dat zijn afgeleide de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van $h$ en $g$ :

$f'(x)=g'(h(x))\circ h'(x)$

Als we de betrokken lineaire afbeeldingen schrijven als rechthoekige matrices (bestaande uit alle mogelijke partiële afgeleiden), dan is de matrix van $f'(x)$ gelijk aan het product van de matrices van $g'(h (x))$ en $h'(x)$ . Uitdrukkelijk: