Imaginær enhet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Den imaginære enhet i i matematikken gjør det mulig å utvide det reelle tallsystem R inn i det komplekse tallsystem C.

Hovedbegrunnelsen for denne utvidelsen er det faktum at ikke alle polynomlikninger (populært kalt n'te-gradslikninger) f(x) = 0 har en løsning blant de reelle tall. For eksempel har likningen x² + 1 = 0 ingen reell løsning. Hvis vi imidlertid tillater komplekse tall som løsninger, så har denne likningen og faktisk alle polynomlikninger f(x) = 0 en løsning. (Se algebraisk lukning og fundamentalt algebrateorem.)

Innhold 1 Definisjon 2 i og −i 3 Advarsel 4 Potenser av i 5 i og Eulers formel 6 Alternativt symbol

[rediger] Definisjon

Per definisjon er den imaginære enhet i løsningen av likningen:

x² = −1

Operasjoner på reelle tall kan utvides til imaginære og komplekse tall ved først å betrakte i som en ukjent størrelse mens en behandler et uttrykk, og så til slutt bruke definisjonen til å erstatte forekomster av i² med −1.

[rediger] i og −i

Likningen over har faktisk to distinkte løsninger som er additive inverse. Eller bedre: Når en løsning i av likningen er fastslått, så er også −i ≠ i en løsning. Siden likningen er den eneste definisjonen av i, betyr det at definisjonen er tvetydig. Men dette løser seg ved at vi velger alltid å bruke den positive i som løsning.

Dette er en spissfindig betraktning. Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved R[X]/(X² + 1) er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra R[X]/(X² + 1), identiteten og automorfismen som sender X til −X. (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til C; men de er de eneste feltautomorfismene til C hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem får vi hvis de komplekse tall fortolkes som 2 × 2 reelle matriser, fordi både er løsninger av likningen x² = −1. I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken "retning" rundt enhetssirkeelen som er "positiv". En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen SO(2, R) har nøyaktig 2 elementer — identiteten og automorfismen som bytter om "med klokken"- og "mot klokken"-rotasjoner.

[rediger] Advarsel

Den imaginære enhet må ikke noteres eller behandles som √(−1). Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle x ≥ 0, eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

Beregningsreglen

er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall a og b.

[rediger] Potenser av i

Potensene av i gjentas i en syklus:

i¹ = i

i² = - 1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = - 1

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor n er et vilkårlig heltall:

i⁴ⁿ = 1

i^{4n + 1} = i

i^{4n + 2} = - 1

i^{4n + 3} = - i

[rediger] i og Eulers formel

Hvis en tar Eulers formel e^ix = cos x + i sin x, og setter inn π / 2 for x, får en

e^{iπ / 2} = i

Hvis begge sider opphøyes i potensen i, idet en husker at i² = - 1, får en følgende bemerkelsesverdige identitet:

Det er faktisk lett å fastslå at iⁱ har et uendelig antall løsninger på formen

iⁱ = e ^{- π / 2 + 2πN}

hvor N er et vilkårlig heltall.

[rediger] Alternativt symbol

I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som j for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk strøm.