Średnia arytmetyczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu Średnie.

Średnie

Średnia arytmetyczna
Średnia geometryczna
Średnia harmoniczna
Średnia kwadratowa
Średnia logarytmiczna
Średnia windsorska
Średnia arytmetyczno-geometryczna
Średnia uogólniona
Mediana
Dominanta (moda)
Środek ciężkości
Maksimum
Minimum

Średnią arytmetyczną $n$ liczb $a 1, a 2,..., a n$ nazywamy liczbę

$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}.$

Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej.

Na przykład średnią liczb 2, 2, 5 i 7 jest

$\frac{2+2+5+7}{4}=4.$

Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładem może być średni wzrost w grupie osób mających wzrost 174, 178, 182 i 185 cm. Średni wzrost wynosi 179,75 cm.

$\frac{174+178+182+185}{4}=179,75$

W podobny sposób można mówić o średniej płacy w danej firmie, średniej cenie pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średniej ocen studenta w roku akademickim. Czasami jednak, w zbiorach, które mają duży i niegaussowski rozrzut wartości lepszą miarą "średniej" jest mediana.

Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą położenia rozkładu i jednocześnie miarą tendencji centralnej. Jest to miara klasyczna rozkładu, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.

Spis treści

1 Zastosowanie i ograniczenia średniej arytmetycznej
2 Wzory
3 Średnia ważona w fizyce
4 Zobacz też

[edytuj] Zastosowanie i ograniczenia średniej arytmetycznej

Średnia arytmetyczna jest estymatorem nieobciążonym i jednocześnie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej zmiennej losowej przy spełnieniu przynajmniej jednego z poniższych założeń:

Liczba obserwacji jest dostatecznie duża (zobacz centralne twierdzenie graniczne)
Rozkład zmiennej jest normalny

W przypadku, gdy liczba obserwacji jest niewielka, a rozkład nie jest normalny, np. występują elementy odstające, inne średnie, takie jak mediana, średnia windsorska mogą dawać lepsze wyniki.

[edytuj] Wzory

Podstawowym wzorem na średnią jest formuła nieważona (czyli średnia nieważona):

$\overline{x} =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

Jeżeli dane są pogrupowane w klasy w postaci szeregu rozdzielczego, stosujemy wzór ważony (średnia ważona):

$\overline{x} =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i n_i$

gdzie x_i to wartości cechy, zaś n_i to liczebności poszczególnych klas.

Możemy również wykorzystać częstości:

$\overline{x} =\sum_{i=1}^{n} x_i w_i$

gdzie $w_i = \frac{n_i}{n}$ to częstości występowania danej wartości x_i

[edytuj] Średnia ważona w fizyce

Jeżeli mamy do czynienia z niezależną serią pomiarów tej samej wielkości x tzn. $(x_1 \pm \Delta x_1, x_2 \pm \Delta x_2, \ldots ,x_n \pm \Delta x_n )$ to najlepszym przybliżeniem wartości pomiaru jest: $\overline{x} \pm \Delta \overline{x}$