Centralizator i normalizator

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Centralizator (centrum), normalizator – w teorii grup specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Spis treści

1 Centralizator
- 1.1 Centrum
2 Normalizator
- 2.1 Działanie grupy na zbiorze
3 Oznaczenia
4 Własności
- 4.1 Uwagi
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Centralizator

Niech $x \in G$ . Centralizatorem elementu $x$ nazywamy podgrupę

$C_G(x)=\{g \in G: gx = xg\}$ .

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru $G$ , nie koniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru $H \subset G$ nazywamy grupę

$C(H) = \{g \in G: \forall_{h \in H}\; gh = hg\}$ .

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru $H$ .

[edytuj] Centrum

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

Z (G) = C G (G)

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy $G$ , mamy zatem $Z(G) = \{x \in G: xg=gx \quad \forall_{g\in G}\}$ .

Stąd o centralizatorze elementu $x$ można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie $H \le G$ zawierającej $x$ w swoim centrum, $Z (H)$ .

[edytuj] Normalizator

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru $H \subset G$ .

Normalizatorem $H$ w $G$ jest podgrupa

$N_G(H) = \{g \in G : gH = Hg\} \le G$ .

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli $H \le G$ , to $N G (H)$ jest największą podgrupą $G$ mającą $H$ jako swoją podgrupę normalną.

[edytuj] Działanie grupy na zbiorze

Niech $H \le G$ będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy $\varphi: G \to \Sigma_{G/H}$ grupy $G$ na zbiorze warstw $G / H$ zadane wzorem $\varphi_g(aH) = gaH$ . Wówczas $\ker \varphi = \bigcap_{g \in G}\; gHg^{-1} \le H$ jest podgrupą normalną $G$ . Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w $H$ .

Jeśli $H \triangleleft G$ , to $H = \ker \varphi$

[edytuj] Oznaczenia

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie $G$ mamy więc $C(H) \equiv C_G(H)$ oraz $N(H) \equiv N_G(H)$ dla dowolnego zbioru $H \subset G$ .

[edytuj] Własności

Niech $G, G 1, G 2$ będą grupami, $H \subset G$ :

Niech . , co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a i b komutują ze sobą.
- Jeśli $G = {a}$ , to $N (S) = C (S) = C (a)$ .
Jeśli G jest abelowa, to C(H) = G oraz N(H) = G,
- grupa $G$ jest abelowa $\iff Z(G) = G$ .
C(H) jest zawsze podgrupą normalną N(H),
- $Z (G)$ jest podgrupą normalną $G$ .
$Z(G_1\times G_2)=Z(G_1)\times Z(G_2)$
Jeśli grupa ilorazowa $G / Z (G)$ jest cykliczna, to $G$ jest abelowa.
Jeśli $G$ jest grupą nieabelową, to jej indeks względem $Z (G)$ jest większy od $3$ .
Jeśli $X\neq\varnothing$ , to $Z (G X) = (Z (G)) X$ .

[edytuj] Uwagi

Jeżeli $H \le G$ , wtedy grupa ilorazowa $N (H) / C (H)$ jest izomorficzna z podgrupą $\operatorname{Aut}(H)$ , grupą automorfizmów $H$ .

Jeżeli $N G (G) = G$ , to $G / Z (G)$ jest izomorficzna z $\operatorname{Inn}(G)$ , podgrupą $\operatorname{Aut}(G)$ zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne $G$ .

Jeżeli $H \subset G$ , to homomorfizm $\varphi: G \to \operatorname{Inn}(G)$ taki, że $\varphi(x)(g) = \varphi_x(g) = xgx^{-1}$ , pozwala na opisanie $N (H)$ oraz $C (H)$ w terminach działania grupy $\operatorname{Inn}(G)$ na grupie $G$ :