Model Blacka-Scholesa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przeprowadzana jest gruntowna przebudowa tego artykułu.

Aby zapobiec konfliktom edycji inni użytkownicy proszeni są o niedokonywanie w nim zmian do czasu usunięcia tego komunikatu lub skontaktowanie się z wikipedystą Luka.stuka.

Model Blacka–Scholesa to matematyczny model rynku opisujący zachowanie cen instrumentów finansowych w czasie. Wyceniając opcje europejskie na rynku Blacka-Scholesa otrzymuje się sławny wzór Blacka-Scholesa. Praca zawierająca ten wzór została opublikowana w 1973 roku. Opiera się ona o wcześniejsze badania Paula Samuelsona i Roberta C. Mertona.

Model rynku Blacka-Scholesa jest często wykorzystywany do wyceny z powodu swej prostoty. Z matematycznego punktu widzenia model ten jest bardzo prymitywny. Obecnie dużym zainteresowaniem cieszą się modele rynków oparte o bardziej skomplikowane procesy (np. proces Levy'ego).

[edytuj] Model

[edytuj] Ogólny model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa to model rynku złożonego z jednego instrumentu bezryzykownego (rachunku bankowego), którego cenę oznaczamy $B t$ oraz $d$ instrumentów ryzykownych (akcji) o cenach $S^i_t$ , i=1, ..., d.

Walor bezryzykowny jest opisany stochastycznym równaniem:

$d B t = r (t) B t d t$ , przy czym $B 0 = 1$ .

Cena akcji spełnia równanie:

$d S^i_t = S^i_t [\mu_i(t) dt + \sum_{j=1}^n \sigma_{ij}(t) d W^j_t]$ , $S^i_0 > 0$ , i = 1, ..., d.

W równaniach tych $W t$ jest standardowym ruchem Browna: $W_t = (W^1_t, \dots, W^n_t)$ , który wyznacza naturalną filtrację w przestrzeni probabilistycznej $(Ω, F, P)$ .

Zakładamy, że mamy deterministyczny proces stopy procentowej $r (t)$ . Proces dryfu $μ(t)$ , dyfuzji $σ(t)$ oraz $r (t)$ są progresywnie mierzalne i spełniają warunek regularności: $\int\limits_0^T ( |r(t)| + ||\mu(t)|| + ||\sigma(t)||^2 ) dt < \infty$ .

[edytuj] Standardowy model Blacka-Scholesa

Szczególnym przypadkiem modelu jest standardowy model Blacka-Scholesa. Zakłada on, że:

$n = d$ ,
współczynniki modelu są całkowalne,
macierz $σ$ jest nieosobliwa,
istnieje proces zwany rynkową ceną ryzyka.

Rynek taki jest zupełny i wolny od arbitrażu.

[edytuj] Klasyczny model Blacka-Scholesa

Klasyczny model Blacka-Scholesa, składa się z jednego instrumentu ryzykownego $S t$ opisanego równaniem:

$d S_t = S_t [\mu dt + \sigma d W_t]\,$ , przy czym $S 0 > 0$ ,

gdzie $μ$ jest liczbą rzeczywistą, $σ, r$ są dodatnimi liczbami rzeczywistymi.

Rynek ten jako szczególny przypadek standardowego modelu Blacka-Scholesa też jest zupełny i wolny od arbitrażu.

[edytuj] Wycena opcji europejskiej

Dla tego prostego przypadku, klasyczny model Blacka-Scholesa, pokażemy jak wycenia się opcję europejską.

Niech $V t$ cena w momencie $t$ instrumentu pochodnego z funkcją wypłaty $G(\{S_\tau, 0 \le \tau \le T\})$ jest dana równaniem:

$V_t = \exp [ -(T-t)r] E_Q [G(\{S_\tau, 0 \le \tau \le T\}) | F_t]$ , gdzie $t \in [0,T]$ .

Ponadto, jeśli funkcja wypłaty zależy tylko do ceny waloru podstawowego w czasie $T$ , np. jeśli $G(\{S_\tau, 0 \le \tau \le T\}) = G(S_T)$ , to możemy powyższy wzór zapisać w postaci (upraszczamy $t = 0$ ):

$V_0 = \exp (-Tr) E_Q [G(S_T)]= \exp (-Tr)\int\limits_{-\infty}^{\infty} G[S_0 \exp((r - \frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma x)] \frac{1}{\sqrt{2\pi T}} \exp [-\frac{x^2}{2T}] dx.$

Jeżeli funkcja $G (S T)$ wystarczająco gładką funkcją, to cena jest także dana przez $G (S T)$ , gdzie $F$ jest rozwiązaniem cząstkowego równania różniczkowego:

$\frac{\partial}{\partial t} F(t,s) + rs \frac{\partial}{\partial s}F(t,s) + \frac{1}{2} \sigma^2 s^2 \frac{\partial^2}{\partial^2 s} F(t,s) - r F(t,s) = 0$ ,