Nierówność Höldera

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

W analizie harmonicznej nierówność Höldera jest fundamentalną nierównością wiążącą przestrzenie Lp. Nazwana nazwskiem matematyka Otto Höldera, została wpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).

Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni Lp i Lq jeśli $p \neq 1$ oraz $p \neq \infty$ .

[edytuj] Nierówność Höldera

Niech 1 ≤ p, q ≤ ∞ będą wykładnikami sprzężonymi, tzn. 1/p + 1/q = 1.
Niech f należy do przestrzeni L^p(X), g należy do L^q(X), gdzie X jest przestrzenią mierzalną.
Wtedy iloczyn fg należy do przestrzeni L¹(X) oraz

$\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q.$

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe $α,β$ niezerowe, takie że: $\alpha \cdot f^p = \beta \cdot g^q$ .

Jak wynika z własności wykładników sprzężonych powyższy warunek zachodzenia równości jest równoważny warunkowi, że istnieje niezerowa stała k, taka że: $g=k \cdot f^{p-1}$ .

[edytuj] Najważniejsze przypadki szczególne

Jeśli p = q = 2, to nierówność Höldera znana jest jako Nierówność Schwarza.

W przestrzeni euklidesowej Rⁿ (lub Cⁿ) nierówność Höldera przyjmuje postać:

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}.$ , $\forall x,y \in R^n$ .

W przestrzeniach ciągów nieskończonych $\ell^p, \ell^q.$ otrzymujemy

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in \ell^p, y\in \ell^q.$

W przestrzeni całkowalnych funkcji o wartościach zespolonych nierówność Höldera przyjmuje postać:

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \int \bigg| f(x)g(x)\bigg| \, dx \leq\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}\cdot \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.$

W przestrzeń probabilistycznej, zbiór $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ oznacza przestrzeń zmiennych losowych ze skończonym p - momentem, $\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$ , gdzie symbol $\mathbb{E}$ oznacza wartość oczekiwaną, otrzymujemy: