Warstwa (teoria grup)
Z Wikipedii
Warstwa grupy względem podgrupy – w teorii grup podzbiór grupy pozwalający na badanie jej struktury poprzez wprowadzenie pojęcia podgrupy normalnej, a w konsekwencji grupy ilorazowej.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech 
będzie grupą, zaś 
jej podgrupą.
Warstwą lewostronną elementu g względem podgrupy H nazywamy zbiór
.
Indeksem podgrupy H w grupie G nazywa się moc zbioru warstw lewostronnych podgrupy H względem G i oznacza się | G:H | . Stosuje się także oznaczenia [G:H] oraz (G:H).
[edytuj] Relacja równoważności
Warstwy lewostronne również można zadać za pomocą relacji równoważności:
.
Wtedy zbiór gH jest klasą abstrakcji tej relacji zawierającą element g.
[edytuj] Wnioski
- eH = H dla elementu neutralnego
. - Dowolne dwie warstwy lewostronne są równoliczne ze zbiorem H, bijekcją zbioru H i warstwy gH jest
. - Twierdzenie Lagrange'a.
[edytuj] Warstwy prawostronne
Równoważnie można rozważać warstwy prawostronne 
z symetrią powyższych definicji i obserwacji. W podgrupach normalnych, gdzie warstwy lewo- i prawostronne są sobie równe, poszczególne pojęcia są tożsame, dlatego rozważa się wówczas tylko warstwy lewostronne.
