Função distribuição acumulada

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Em teoria da probabilidade, a função distribuição acumulada (fda) descreve completamente a distribuição da probabilidade de uma variável aleatória de valor real X. Para cada número real x, a fda é dada por

$F(x) = \operatorname{P}(X\leq x),$

onde o lado direito representa a probabilidade de que a variável X tome um valor inferior ou igual a x. A probabilidade de que X se situe num intervalo (a, b) é deste modo F(b) − F(a) se a ≤ b. É convenção usar um F maiúsculo para a fda, em contraste com o f minúsculo usado para a função densidade da probabilidade e funções massa da probabilidade.

Note-se que na definição acima, o sinal "menor ou igual", '≤' poderia ser substituido por "menor" '<'. Isto produziria uma função diferente mas qualquer uma das funções pode ser facilmente deduzida a partir da outra. Também se poderia mudar para um sinal maior e deduzir as propriedades desta nova função. A única coisa a lembrar é ajustar a definição ao sinal pretendido. Em países de língua inglesa, a convenção que usa a inequalidade fraca (≤) em vez da inqualidade estricta (<) é quase sempre usada.

[editar] Exemplos

Como exemplo, suponha-se que X é distribuido uniformemente pelo intervalo [0, 1]. Nesse caso a fda é dada por:

F(x) = 0, se x < 0;

F(x) = x, se 0 ≤ x ≤ 1;

F(x) = 1, se x > 1.

Para um outro exemplo suponha-se que X toma apenas os valores 0 e 1, com igual probabilidade. Então a fda é dada por

F(x) = 0, se x < 0;

F(x) = 1/2, se 0 ≤ x < 1;

F(x) = 1, se x ≥ 1.

[editar] Propriedades

Qualquer fda F é monótona crescente e contínua a partir da direita. Para além disso temos $\lim_{x\to -\infty}F(x)=0$ e $\lim_{x\to +\infty}F(x)=1$ . Qualquer função com estas 4 propriedades é uma fda.

Se X é uma variável aleatória discreta, então ela obtém os valores x₁, x₂, ... com probabilidade p₁, p₂ etc., e a fda de X será descontínua nos pontos x_i e constante entre eles.

Se a fda F de X é contínua, então X é uma variável aleatória contínua; se para além disso F absolutamente contínua, então existe uma função Integral Lebesgue f(x) tal que

$F(b)-F(a) = \operatorname{P}(a\leq X\leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$

para todos os números reais a e b. (A primeira das duas igualdades acima não seria correcta em geral se não tivessemos dito que a distribuição é contínua. Continuidade da distribuição implica que P(X = a) = P(X = b) = 0, de modo que a diferença entre "<" e "≤" deixa de ser importante neste contexto.) A função f é igual à derivada de F (quase em toda a parte), e é chamada de função densidade de probabilidade da distribuição de X.

O teste Kolmogorov-Smirnov é baseado em funções distribuição acumulada e pode ser usado para ver se duas distribuições empíricas são diferentes ou se uma distribuição empírica é diferente de uma distribuição ideal. Muito relacionado é o teste de Kuiper, o qual é útil se o domínio da distribuição é cíclico como por exemplo em dias da semana. Por exemplo podemos usar o teste de Kuiper para ver se o número de tornados varia durante o ano ou se as vendas de um produto variam dia a dia ou por dia do mês.