Regra da cadeia

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No cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada para duas funções compostas.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abssissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

[editar] Definição

A regra da cadeia afirma que

$(f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\,$

que em sua forma escita é escrita como $(f \circ g)' = f'\circ g\cdot g'$ .

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

$\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}.$

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.

[editar] Exemplos

Considere $f (x) = (x 2 + 1) 3$ . TEmos que $f (x) = h (g (x))$ onde $g (x) = x 2 + 1$ e $h (x) = x 3 .$ Entãos,

$f '(x) \,$	$= 3(x^2 + 1)^2(2x) \,$
	$= 6x(x^2 + 1)^2. \,$

De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:

$f(x) = \sin(x^2),\,$

pode ser escrita como $f (x) = h (g (x))$ com $h (x) = sin x$ e $g (x) = x 2$ . A regra da cadeia afirma que

$f'(x) = 2x \cos(x^2) \,$

desde que $h'(g (x)) = cos(x 2)$ e $g'(x) = 2 x$ .

[editar] Regra da cadeia para várias variáveis

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função $z = f (x, y)$ onde $x = g (t)$ e $y = h (t)$ , então

${\partial z \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}$

Suponha que cada função de $z = f (u, v)$ é uma função de duas variáveis tais que $u = h (x, y)$ e $v = g (x, y)$ , e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:

${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$

${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}$

Se considerarmos $\vec r = (u,v)$ acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de f e a derivada de $\vec r$ :

$\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}$

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções:

$\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}$