Unidade imaginária

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Em Matemática, a unidade imaginária i permite ao sistema de números reais $\mathbb{R}$ ser estendido ao sistema de números complexos $\mathbb{C}$ . Sua definição particular depende do método particular de extensão.

A motivação inicial para essa extensão é o fato que nem toda equação polinomial f(x) = 0 tenha uma solução nos números reais. Em particular, a equação x² + 1 = 0 não tem solução real. No entanto, se permitirmos números complexos como solução, então esta equação, e mesmo toda equação polinomial f(x) = 0 tem uma solução. (Veja Teorema fundamental da álgebra.)

[editar] Definição

Por definição, a unidade imaginária i é a solução da equação

x² = −1

As operações com números reais podem ser estendidas aos números imaginários e complexos em se tratando i como uma quantidade desconhecida ao se manipular uma expressão, e então usar a definição pra substituir as ocorrências de i² com −1.

[editar] i e −i

A equação acima tem, na verdade, duas soluções distintas que são inversos aditivos. Mais precisamente, uma vez que uma solução i da equação foi encontrada, −i ≠ i também é uma solução. Como a equação é a única definição de i, parece que a definição é ambígua (mais precisamente, não bem definida). No entanto, não existe ambigüidade, desde que escolhamos uma solução e a definamos para sempre como "i positivo".

Este caso é sutil. A explicação mais precisa é dizer que, apesar de o campo complexo, definido como R[X]/(X² + 1), (veja número complexo) ser único até o isomorfismo, ele não é único até um isomorfismo único — existem exatamente 2 automorfismo de campo de R[X]/(X² + 1), a identidade e o automorfismo enviando X a −X. (Deve ser notado que estes não são os únicos automorfismos de campo de C; eles são os únicos automorfismos de campo de C que mantêm cada número real fixo.) Veja número complexo, conjugação complexa, automorfismo de campo e Grupo de Galois.

Um problema similar parece ocorrer se os números complexos são interpretados como 2 × 2 matrizes reais, porque então ambas

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix} \mbox{ e } \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

são soluções da equação x² = −1. Neste caso, a ambigüidade resulta da escolha geométrica de qual "direção" em torno do círculo unitário é "positiva". Uma explicação mais precisa é dizer que o automorfismo de grupo do grupo ortogonal especial SO(2, R) tem exatamente 2 elementos — a identidade e o automorfismo que trocam rotações "CW" (sentido horário) e "CCW" (sentido anti-horário).

[editar] Lembrete

A unidade imaginária é, às vezes, escrita $\sqrt{-1}$ em contextos de Matemática avançada, mas deve-se tomar cuidado ao manipular fórmulas envolvendo radicais. A notação é reservada tanto para a função raiz quadrada principal, que é definida somente para o real x ≥ 0, como para ramo principal da função raiz quadrada complexa. Tentar aplicar as regras de cálculo da função raiz quadrada (real) principal para manipular o ramo principal da função raiz quadrada complexa resultará em resultados falsos:

$-1 = \imath \cdot \imath = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1$

A regra de cálculo

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

é valida somente para números reais não-negativos a e b.

[editar] Potências de "i"

As potências de i repetem-se em círculo:

$\imath^1 = \imath$

$\imath^2 = -1$

$\imath^3 = -\imath$

$\imath^4 = 1$

$\imath^5 = \imath$

$\imath^6 = -1$

Isso pode ser expresso com o seguinte padrão, onde "n" é um inteiro:

$\imath^{4n} = 1$

$\imath^{4n+1} = \imath$

$\imath^{4n+2} = -1$

$\imath^{4n+3} = -\imath$

[editar] i e a Fórmula de Euler

Tomando-se a Fórmula de Euler $e^{\imath x} = \cos\mbox{ }x + \imath\mbox{ }\sin\mbox{ }x$ , e substituindo-se $π / 2$ por $x$ , chega-se a

$e^{\imath\pi /2} = \imath$

Se os dois lados forem elevados à potência $\imath$ , lembrando que $\imath^2 = -1$ , obtém-se a identidade:

$\imath^\imath = e^{-\pi /2} = 0.2078795763\dots$

De fato, é fácil determinar que $i i$ tem um número infinito de soluções na forma de

$\imath^{\imath} = e^{-\pi / 2 + 2 \pi N}$

onde N é qualquer inteiro. Do ponto de vista da teoria dos números, $\imath$ é um número quadrático irracional, como √2, e aplicando-se o Teorema Gelfond-Schneider, pode-se concluir que todos os valores obtidos acima, e $e - π / 2$ em particular, são transcendentais.

Da identidade acima

$e^{\imath\pi /2} = \imath$

chega-se de maneira elegante ao resultado

$e^{\imath\pi} + 1 = 0$

que relaciona cinco das identidades matemáticas mais significativas em uma simples expressão.

[editar] Notação alternativa

Em Engenharia elétrica e áreas relacionadas, a unidade imaginária é escrita freqüentemente como "j" para evitar a confusão com a notação de corrente elétrica variável, tradicionalmente escrita i.