Условное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей - это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Дискретные случайные величины
- 1.2 Абсолютно непрерывные случайные величины
2 Свойства условных распределений
3 Условные вероятности
- 3.1 Дискретные случайные величины
- 3.2 Абсолютно непрерывные случайные величины
4 Условные математические ожидания
- 4.1 Дискретные случайные величины
- 4.2 Абсолютно непрерывные случайные величины

[править] Определения

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ .

[править] Дискретные случайные величины

Пусть $X: \Omega \to \mathbb{R}^m$ и $Y:\Omega \to \mathbb{R}^n$ - случайные величины, такие что случайный вектор $(X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n}$ имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности $p_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m,y\in \mathbb{R}^n$ . Пусть $y_0 \in \mathbb{R}^n$ такой, что $\mathbb{P}(Y = y_0) > 0$ . Тогда функция

$p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \mathbb{P}(X = x \mid Y = y_0) = { p_{X,Y}(x,y_0) \over p_Y(y_0)}, \; x \in \mathbb{R}^m$ ,

где $p Y$ - функция вероятности случайной величины $Y$ , называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины $X$ при условии, что $Y = y 0$ . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

[править] Абсолютно непрерывные случайные величины

Пусть $X: \Omega \to \mathbb{R}^m$ и $Y:\Omega \to \mathbb{R}^n$ - случайные величины, такие что случайный вектор $(X,Y)^{\top}:\Omega \to \mathbb{R}^{m+n}$ имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности $f_{X,Y}(x,y),\; x\in \mathbb{R}^m, y \in \mathbb{R}^n$ . Пусть $y_0 \in \mathbb{R}^n$ таково, что $f Y (y 0) > 0$ , где $f Y$ - плотность случайной величины $Y$ . Тогда функция

$f_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины $X$ при условии, что $Y = y 0$ . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

[править] Свойства условных распределений

Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,

$p_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0,\; \forall x \in \mathbb{R}^m,\, y_0\in \mathbb{R}^n$ ,
$\sum\limits_x p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n$ ,

$f_{X\mid Y}(x\mid y_0) \ge 0$ почти всюду на $\mathbb{R}^{m+n}$ ,
$\int\limits_{\mathbb{R}^m} f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx = 1,\; \forall y_0\in \mathbb{R}^n$ ,

Справедливы формулы полной вероятности:

$p_X(x) = \sum\limits_{y} p_{X\mid Y}(x \mid y)\, p_Y(y)$ ,
$f_X(x) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f_{X \mid Y}(x\mid y)\, f_Y(y)\, dy$ .

Если случайные величины $X$ и $Y$ независимы, то условное распределение равно безусловному:

$p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = p_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}^m$

или

$f_{X\mid Y}( x\mid y_0 ) = f_X(x)$ почти всюду на $\mathbb{R}^m$ .

[править] Условные вероятности

[править] Дискретные случайные величины

Если $A$ - счётное подмножество $\mathbb{R}^m$ , то

$\mathbb{P}(X \in A \mid Y = y_0) = \sum\limits_{x \in A} p_{X \mid Y}(x \mid y_0)$ .

[править] Абсолютно непрерывные случайные величины

Если $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$ - борелевское подмножество $\mathbb{R}^m$ , то полагаем по определению

$\mathbb{P}(X\in A \mid Y = y_0) = \int\limits_A f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx$ .

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как $\mathbb{P}(Y = y_0) = 0$ .

[править] Условные математические ожидания

[править] Дискретные случайные величины

Условное математическое ожидание случайной величины $X$ при условии $Y = y 0$ получается суммированием относительно условного распределения:

$\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \sum\limits_{x} x\, p_{X \mid Y}(x \mid y_0)$ .

Условное математическое ожидание $X$ при условии случайной величины $Y$ - это третья случайная величина $\mathbb{E}[X \mid Y]$ , задаваемая равенством

$\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega$ .

[править] Абсолютно непрерывные случайные величины

Условное математическое ожидание случайной величины $X$ при условии $Y = y 0$ получается интегрированием относительно условного распределения:

$\mathbb{E}[X \mid Y = y_0 ] = \int\limits_{\mathbb{R}^m} x\, f_{X \mid Y}(x \mid y_0)\, dx$ .

Условное математическое ожидание $X$ при условии случайной величины $Y$ - это третья случайная величина $\mathbb{E}[X \mid Y]$ , задаваемая равенством

$\mathbb{E}[X \mid Y](\omega) = \mathbb{E}[X \mid Y = Y(\omega)],\; \omega \in \Omega$ .

Категория: Теория вероятностей

Условное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определения

[править] Дискретные случайные величины

[править] Абсолютно непрерывные случайные величины

[править] Свойства условных распределений

[править] Условные вероятности

[править] Дискретные случайные величины

[править] Абсолютно непрерывные случайные величины

[править] Условные математические ожидания

[править] Дискретные случайные величины

[править] Абсолютно непрерывные случайные величины

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках