Циссоида Диокла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA=2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны, синим и красным цветами.

Рис. 1

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

$y^2 = \frac {x^3}{2a - x} \qquad \qquad (1) \,\!$ .

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

$\rho = \frac{2a \sin^2 \phi}{ \cos \phi} \,\!$ .

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

$\rho = \frac{2a \left( 1 - \cos^2 \phi \right)}{ \cos \phi} = \,\!$

$= 2a \left( \frac {1}{ \cos \phi} - \cos \phi \right)= \,\!$

$= 2a \left( \sec \phi - \cos \phi \right) \,\!$

Параметрическое уравнение циссоиды:

$x = \frac{2a} {1 + u^2} \,\!$

$y = \frac{2a}{u \left( 1 + u^2 \right)} \,\!$ , где

$u = \tan \phi \,\!$ .

[править] История

Впервые уравнение циссоиды исследовал греческий математик Диокл (Diocles) во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии — диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом, Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — греч. χισσος («киссос»), от этого и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде, циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Рене де Слюз (Rene de Sluze).

[править] Особенности кривой

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках B и D, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет асимптоту UV, уравнение которой: $x = 2 a$ , где a — радиус вспомогательной окружности и один касп.

[править] Площадь между циссоидой и асимптотой

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды KOL и асимптотой UV $S 1$ . Уравнение верхней ветви $O L$ :

$y = \sqrt { \frac {x^3} {2a-x}} \qquad \qquad \,\!$ (2)

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от $0$ до $2 a$ .

$\frac {1}{2} S_1 = \int_{0}^ {2a} \sqrt { \frac {x^3} {2a-x}}\,dx \qquad \,\!$ (3)

Подстановка:

$u^2 = 2a - x, \qquad x = 2a - u^2, \qquad dx = -2udu$ .

Пределы интегрирования:

$x = 0 \Rightarrow\; u = \sqrt {2a}, \qquad x = 2a \Rightarrow\; u = 0$

Интеграл (3) преобразуется к виду:

$\frac{1}{2}S_1 = -2 \int_{ \sqrt{2a}}^{0} \sqrt{ \left(2a - u^2 \right)^3}\,du = \,\!$

$= -2 \left( \frac{u}{8} \left(10a - 2u^2 \right) \sqrt{2a - u^2} + \frac{3a}{2} \arcsin \frac{u}{ \sqrt{2a}} \right) \begin{cases} 0 \\ \sqrt{2a} \end{cases} = \frac{3 \pi a^2}{2} \,\!$ .