Калкулус
Из пројекта Википедија
Калкулус (енг. calculus - рачун) је област математике која користи идеју граничне вредности. Код нас је у употреби назив Математичка анализа (нпр. Проф. Др Светозар Курепа, Математичка анализа, први дио - диференцирање и интегрирање, Техничка књига, Загреб, 1975.), или Виша математика (академик Радивоје Кашанин, Виша математика I, четврто издање, Завод за издавање уџбеника СРБиХ, Сарајево, 1969.), па и инфинитезимални рачун. То је веома широка област математике и предмет је вишегодишњих студија на факултетима. Уопште, дели се на два дела: диференцијални и интегрални рачун. Овде је описано само неколико историјски важних напомена.
[уреди] Диференцијални рачун
Диференцијални рачун и диференцирање проучавају промене реалних функција при променама независне варијабле, тј. независне променљиве. Полази се од проблема налажења тангенте на криву, који је први објавио Исак Бароу (Isaac Barrow: Lectiones geometricae, 1670). Исак Њутн (Isaac Newton) је открио метод (1665-6.) и сугерисао И. Бароу, свом професору математике, да методу укључи у уџбеник. У својој оригиналној теорији, Њутн је посматрао функцију као променљиву, флуентну количину, и деривацију, или износ промене, назвао флуксија (fluxion). Дефинисао је нагиб криве у тачки као прираштај тангенте на ту криву у малој околини дате тачке. Данас веома познати биномни теорем Њутн је тада применио да нађе гранични случај, што значи да је калкулус Њутну требао за бесконачне низове. Употребио је ознаке икс, односно ипсилон са тачком изнад (
) за флуксију, и исто са две тачке изнад (
) за флуксију флуксије. Тако, ако је x = f(t), где је t време потребно телу да би се прешло пут х, тада је флуксија икса тренутна брзина, а флуксија флуксије је тренутно убрзање. Лајбниц (Leibniz) је такође открио исту методу 1676. г., објавио је 1684. Њутн је није објавио све до 1687. (у Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Математички принципи филозофије природе). Зато се развила горка расправа око приоритета открића. Заправо, данас је познато, обојица су дошли до истог открића независно један од другог. Савремена нотација дугује Лајбицу dy/dx и издужено S (од сума) за интеграл.
[уреди] Интегрални рачун
Интегрални рачун и интеграција користе се за израчунавање површина, запремина тела, дужина криве, тежишта, момента инерције. Вуче корене још од Еудокса Книдског (Eudoxus of Cnidus, 408-347.п.н.е.) грчког астронома и математичара и његове методе "исцрпљивања" (exhaustion) из периода око 360.г.п.н.е. Архимед је (дело: Метода) развио начин налажења површина ограничених кривама, разматрајући их подељене многобројним паралелним линијама и проширио идеју на тражење запремина неких тела. Због тога га неки називају оцем интегралног рачуна.
Почетком 17. века, поново се појавио интерес за мерење запремина интегралном методом. Кеплер је користио процедуре налажења запремина тела узимајући их као композицију бесконачног скупа инфинитезимално (бесконачно) малих елемената (Stereometrija doliorum, Мерење запремина буради, 1615.). Ове идеје је поопштио Каваљери (Cavalieri) у свом делу Geometria indivisibilibus continuorum nova (1635), у којем је употребио идеју да се површина састоји из недељивих линија, а запремина од недељивих површина. То је данас познати Каваљеров принцип, а такође то је био и концепт Ахимедове Методе. Џон Валис у свом делу Бесконачна аритметика (John Wallis, Arithmetica ifinitorum, 1655) је аритметизовао Кавалијерове идеје. У том раздобљу су инфинитезималне методе интензивно кориштене за тражење дужина кривих и површина.
[уреди] Савремена математика
Негде у данашње време, интеграција се почела тумачити једноставно као операција инверзна диференцирању. Коши (Cauchy) је 1820-их диференцијални и интегрални рачун поставио на сигурније ноге заснивајући их на лимесу. Диференцирање је дефинисао као граничну вредност количника, а интегрирање као граничну вредност збира. Дефиницију интеграла помоћу граничне вредности поопштио је Риман (Riemann).
У двадесетом веку, схватање интеграла је проширено. У почетку, интегрирање се односило на елементарну идеју мерења (мерење дужина, површина, запремина) са непрекидним функцијама. Са појавом теорије скупова, функције су се почеле третирати као пресликавање, не обавезно непрекидно, и појавило се општије и апстрактније схватање мере. Лебег (Lebesgue) је објавио дефиницију интегрирања засновану на Лебеговој мери скупа. Појавио се Лебегов интеграл.
