Ekvationssystem

Wikipedia

Inom matematiken är ett ekvationssystem en samling av ekvationer.

[redigera] Allmänna ekvationssystem

Låt $f_1,f_2,\dots,f_m$ vara m stycken funktioner av n stycken variabler $x_1,x_2,\dots,x_n$ . Varje ekvation $f_k(x_1,x_2,\dots,x_n)=0$ beskriver en hyper-yta i det n-dimensionella Euklidiska rummet $\mathbb{R}^n$ . (Vi använder benämningen hyper-yta istället för benämningen yta, eftersom ytor är två-dimensionella objekt och hyper-ytor i $\mathbb{R}^n$ kan vara av dimensioner allt från 1 till n-1.) Lösningen, om den finns, till ekvationssystemet

$\begin{cases} f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)&=0\\ &\vdots\\ f_m(x_1,x_2,\dots,x_n)&=0 \end{cases}$

utgörs av de punkter i det n-dimensionella rummet som ligger på samtliga m stycken hyper-ytor. Systemet har endast lösningar om alla hyperytor möts i minst en punkt.

Innehåller ekvationssystemet färre ekvationer än variabler, det vill säga om m < n, så kallas det underbestämt. Då kan det fortfarande vara lösbart, men lösningen blir inte entydig. Lösningen kan till exempel vara alla tal på en kurva eller linje.

Innehåller det fler oberoende ekvationer än variabler, det vill säga om m > n, så kallas det överbestämt, och är oftast olösbart. Överbestämda ekvationssystem är vanliga inom forskningen, då man behandlar mätdata som innehåller slumpmässiga mätfel.

[redigera] Linjära ekvationssystem

Den enklaste formen av ekvationssystem får man om samtliga funktioner $f_1,f_2,\dots,f_m$ är linjära:

$f_k(x_1,x_2,\dots,x_n) = a_{k1} x_1 + a_{k2} x_2 + \cdots + a_{kn} x_n - b_k.$

Ekvationen

$f_k(x_1,x_2,\dots,x_n) = 0$

beskriver ett hyper-plan

$a_{k1} x_1 + a_{k2} x_2 + \cdots + a_{kn} x_n = b_k$

i det n-dimensionella rummet och det linjära ekvationssystemet

$\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n &= b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n &= b_2\\ &\vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n &= b_m \end{cases}$

beskriver skärningspunkterna mellan de m hyper-planen. En förutsättning för att det skall finnas en unik lösning till ekvationssystemet är att det finns lika många (icke-parallella) hyper-plan (m) som det finns variabler (n), det vill säga att m = n. Ekvationssystemet kan skrivas med hjälp av matriser på följande sätt:

$\underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}}_A \underbrace{\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}}_x = \underbrace{\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\ \vdots\\b_m \end{pmatrix}}_b.$

Ett mer kortfattat sätt att skriva detta väldiga uttryck på är $A x = b$ . Om A är en inverterbar matris med inversen $A - 1$ , så kan lösningen till ekvationssystemet skrivas $x = A - 1 b$ . För att detta skall vara möjligt måste matrisen A vara kvadratisk, det vill säga den måste ha lika många rader (m) som kolumner (n) och dessutom får dess nollrum N(A) bara innehålla noll-vektorn $\mathbf{0}$ . Nollrummet N(A) till matrisen A består av de vektorer x som är lösningar till ekvationssystemet $Ax=\mathbf{0}$ .

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../e/k/v/Ekvationssystem.html

Kategori: Algebra

Ekvationssystem

Wikipedia

[redigera] Allmänna ekvationssystem

[redigera] Linjära ekvationssystem

Views

Navigering

Sök

Andra språk