布豐投針問題
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18世紀，布豐提出以下問題：設我們有一個以平行且等距木紋舖成的地板（如右圖），現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的概率。這就是布豐投針問題。
使用積分幾何能找到此題的解，並得出一個求π的蒙特·卡羅方法。
[编辑] 解法
設針的長度是
，平行線之間的距離為t，x為針的中心和最近的平行線的距離，θ為針和線之間的銳角。
![x \in [0,t/2]](../../../math/1/b/4/1b420d7ae8c0114da491cf09f4d6e447.png)
的機率密度函數為
。
![\theta \in [0,\pi/2]](../../../math/8/1/2/812f16bcbd152b5aa7fcf0791f3626e1.png)
的機率密度函數為
。
x,θ兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：
。
當
，針和線相交。
求上式的積分，得針與線相交的機率：
拋n支針，其中有h支針與線相交的機率是：
由此可求得π：
[编辑] Lazzarini的估計
1901年意大利數學家Mario Lazzarini嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113，這個結果很震撼，可惜有騙人的成分。
Lazzarini選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於
。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式
，得x = 113n / 213。
為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。Lazzarini做了
次。
