滤子 (数学)
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在数学中，滤子是偏序集合的特殊子集。经常使用的特殊情况是：要考虑的有序集合只是某个集合的幂集，并用集合包含来排序。滤子出现在序理论和格理论中，还可以它们所起源的拓扑中找到。滤子的对偶概念是理想。
滤子是 Henri Cartan 在1937年发明的并随后在 Bourbaki 的书《Topologie Générale》中作为对 E. H. Moore 和 H. L. Smith 在1922年发明的网的概念的替代。
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[编辑] 一般定义
偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，如果如下条件成立:
- 对于所有 F 中的 x, y，有某个 F 中元素 z，使得 z ≤ x 并且 z ≤ y。(F 是滤子基)
- 对于所有 F 中的 x 和 P 中的 y，x ≤ y 蕴涵 y 在 F 中。 (F 是上部集合)
- 滤子是真滤子，如果它不等于整个集合 P。这经常作为滤子定义的一部分。
尽管上述定义是为任意偏序集合定义滤子的最一般的方式，它最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是在有限的交(下确界)下闭合的上部集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。
包含一个给定元素 p 的最小的滤子是主滤子而 p 在这种情况下是主元素。p 的主滤子只用集合 
给出，并指示为 
。
滤子的对偶概念，就是说通过反转所有 ≤ 并交换 ∧ 为 ∨ 得到的概念是理想。因为这种对偶性，关于滤子的讨论通常也可以翻版到理想的讨论。所以关于这个主题的多数额外信息(包括极大滤子和素滤子)都可以在关于理想的文章中找到。关于超滤子有专门的条目。
[编辑] 引用
- Cartan, H. (1937) "Thèorie des filtres". CR Acad. Paris, 205, 595–598.
- Cartan, H. (1937) "Filtres et ultrafiltres" CR Acad. Paris, 205, 777–779.
A monograph available free online:
- Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
[编辑] 外部链接
[编辑] 参见
- 过滤 (抽象代数)
- 理想 (数学)
