Поле (алгебра)

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В алгебрата поле се нарича множество F, в което са дефинирани две бинарни операции (наричани обикновено събиране и умножение и обозначавани с „+“ и „·“), ако отговаря на следните условия:

затворено е спрямо двете операции;
двете операции са асоциативни и комутативни;
съществуват неутрални елементи спрямо двете операции (най-често наричани „нула“ и „единица“);
съществуват обратни елементи за всеки елемент спрямо първата операция и спрямо втората за всеки елемент без единичния елемент на първата операция („нулевия елемент“);

[редактиране] Други определения

Възможни са други определения при използване на термини за множества, частично удовлетворяващи горните условия:

поле е комутативен асоциативен пръстен c единица, в който всички ненулеви елементи са обратими;
поле е комутативно тяло;
множеството F е поле, ако образува комутативна група по отношение на събирането и всички ненулеви елементи образуват комутативна група по отношение на умножението. В сила са дистрибутивните закони, които свързват двете операции.

[редактиране] Примери

$\mathbb{Q}$ — множеството на рационалните числа,
$\mathbb{R}$ — множеството на реалните числа,
$\mathbb{C}$ — множеството на комплексните числа,
$\mathbb{Z}_p$ — множеството от остатъци по модул p, където p е просто число.
$\mathbb{F}_q$ — крайни полета с $q = p k$ елемента, където p е просто, а k — естествено число.