Функция на Мьобиус

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Тази статия се нуждае от подобрение.

Необходимо е: ДОРАЗРАБОТВАНЕ, КРИТИЧЕН ПРОЧИТ И ПРИВЕЖДАНЕ В ЕНЦИКЛОПЕДИЧЕН ВИД.. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Функцията на Мьобиус (наречена на Август Мьобиус) е функция с дефиниционно множество $\mathbb{N}^{+}$ . Тя се бележи с $\mu\,$ и се дефинира като единственото решение на уравнението:

$g(b)=\sum_{a|b}\mu(a)\,$ ,

където

$g(n)=\begin{cases}1 \text{,} & n=1 \\ 0 \text{,} & n>1 \end{cases}$

[редактиране] Стойности

Стойностите на функцията на Мьобиус могат лесно да се определят като се съобрази, че за всяко $k \ge 1$ и всяко просто число $p\,$ :

$\mu(p^k)=\sum_{j=0}^{k-1}\mu(p^j)=0$ ,

откъдето следва, че

$\mu(p)=-1\,$

$\mu(p^i)=0\text{, } i > 1\,$ .

Функцията $g(n)\,$ е мултипликативна. Това означава, че и функцията на Мьобиус $\mu(n)\,$ също би трябвало да бъде мултипликативна. Следователно стойностите на $\mu(n)\,$ могат да се пресметнат както следва: