Hypergeometrická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hypergeometrická funkce je definována jako

$F(\alpha,\beta,\gamma,x) = 1 + \frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot2\cdot\gamma(\gamma+1)}x^2 + \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{1\cdot2\cdot3\cdot\gamma(\gamma+1)(\gamma+2)}x^3 + ...$

Tato hypergeometrická řada konverguje pro $| x | < 1$ a pro $γ$ různé od nuly a od celých nezáporných čísel.

Hypergeometrickou funkci získáme řešením hypergeometrické (Gaussovy) diferenciální rovnice

$x(1-x)y^{\prime\prime} + \left[\gamma - (\alpha+\beta+1)x\right]y^\prime - \alpha\beta y = 0$ ,

kde $α,β,γ$ jsou konstanty.

[editovat] Speciální případy

Pro $α = 1,β = γ$ přechází hypergeometrická řada v geometrickou řadu.

Pro $α = - n,β = n + p,γ = q$ , kde $q > 0$ a $p - q > - 1$ , dostáváme tzv. Jacobiovy polynomy

$J_n(p,q,x) = F(-n,n+p,q,x)= 1 + \sum_{k=1}^n {(-1)}^k{n \choose k} \frac{(n+p)(n+p+1)\cdots(n+p+k-1)}{q(q+1)\cdots(q+k-1)}x^k$

Platí

$P_n(x) = J_n\left(1,1,\frac{1-x}{2}\right) = F\left(-n,n+1,1,\frac{1-x}{2}\right)$

kde $P n$ jsou Legendrovy polynomy. Legendrovy polynomyjsou tedy také speciálním případem hypergeometrické funkce.

Jiným speciálním případem Jacobiových polynomů jsou Čebyševovy polynomy

$T_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} J_n\left(0,\frac{1}{2},\frac{1-x}{2}\right)$

Pro $|x|\leq 1$ lze ukázat

$T_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \cos(n\,\arccos x)$

V intervalu $\langle-1,1\rangle$ tvoří Čebyševovy polynomy ortogonální systém s váhou $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ , tzn.

$\int_{-1}^1 \frac{T_m(x)T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x = 0 \; \mbox{ pro } m\neq k$ .

Čebyševovy polynomy získáme jako řešení Čebyševovy diferenciální rovnice

$(1-x^2)y^{\prime\prime}-xy^\prime+n^2 y = 0$

[editovat] Degenerovaná hypergeometrická funkce

Funkce

$F(\alpha,\gamma,x) = \lim_{\beta\to\infty} F\left(\alpha,\beta,\gamma,\frac{x}{\beta}\right)$

se nazývá degenerovaná hypergeometrická funkce.

Degenerovanou hypergeometrickou funkci lze vyjádřit jako

$F(\alpha,\gamma,x) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}x^2+ ...$

Řada konverguje pro všechna konečná $x$ .

[editovat] Podívejte se také na

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../h/y/p/Hypergeometrick%C3%A1_funkce.html“

Kategorie: Matematické funkce

Hypergeometrická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

[editovat] Speciální případy

[editovat] Degenerovaná hypergeometrická funkce

[editovat] Podívejte se také na

Views

Navigace

Hledání